模块问题

在谈长度、角度和曲率之前，先回答：输入究竟是哪一种曲面？有几块、几条边界、几个洞？能否直接映到圆盘？

本模块把原先一篇 600 多行的拓扑章拆成 11 课。每课只增加一个概念层级。

前置检查

至少先完成：

阅读顺序

课次	页面	本课唯一主问题
01-01	集合、开集与拓扑	怎样只描述邻近而不测距离？
01-02	同胚与拓扑不变量	什么条件下两个空间算同一种形状？
01-03	流形与坐标图	弯曲曲面为何局部可用两个坐标？
01-04	边界与定向	内部点、边界点与正面方向怎样定义？
01-05	商空间与边粘合	怎样精确定义“粘边”？
01-06	闭路、同伦与基本群	怎样记录不能收缩的绕圈方式？
01-07	覆盖空间	怎样把绕圈展开成直线运动？
01-08	三角剖分与 Euler 示性数	怎样第一次从网格算出拓扑量？
01-09	边界算子	为什么边界的边界为零？
01-10	同调与 Betti 数	为什么洞等于循环模去边界？
01-11	网格拓扑体检代码	怎样把定义实现为可检查的程序？

概念依赖图

flowchart LR
    A[开集与连续] --> B[同胚]
    B --> C[流形]
    C --> D[边界与定向]
    B --> E[闭路与同伦]
    E --> F[基本群与覆盖]
    C --> G[三角剖分]
    G --> H[边界算子]
    H --> I[同调与 Betti 数]
    D --> J[网格体检]
    I --> J

出口标准

完成后应能独立解释：

球面为何不能无切缝地一一铺到平面；
圆柱、圆盘和环面的边界与基本群有何不同；
为什么 $B_1B_2=0$ ；
为什么 $H_1=\ker B_1/\operatorname{im}B_2$ 表示一维洞；
如何用 $V-E+F$ 、边界边计数和连通分支检查网格。

长篇参考

掌握短课后，可把旧文章代数拓扑：从曲面分类到同调算法当作集中复习材料，而不是第一次接触概念的入口。