本页只解决一个问题

为什么测量向量的对象与向量本身不同？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

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2. 余切空间与 1-形式

2.1 对偶空间

$T_pM$ 的对偶空间

$$T_p^*M=\operatorname{Hom}(T_pM,\mathbb R)$$

称为余切空间。它的元素把切向量映成实数。

坐标函数$u^i$ 的微分$du^i$ 定义为

$$du^i\left(\frac{\partial}{\partial u^j}\right)=\delta^i_j.$$

因此$\{du^1,du^2\}$ 是$\{\partial_{u^1},\partial_{u^2}\}$ 的对偶基。

一个 1-形式写成

$$\omega=\omega_1du^1+\omega_2du^2.$$

作用在$X=X^i\partial_{u^i}$ 上：

$$\omega(X)=\omega_iX^i.$$

2.2 函数的微分

对$f:M\to\mathbb R$，

$$df=\frac{\partial f}{\partial u^1}du^1 +\frac{\partial f}{\partial u^2}du^2.$$

$df$ 是 1-形式而不是向量。只有给定黎曼度量$g$ 后，才能通过

$$g(\nabla f,X)=df(X)$$

把它转换为梯度向量$\nabla f$。这一区分很关键：

• $df$ 只依赖微分结构；
• $\nabla f$ 还依赖“如何测长度和角度”的度量。

读完必须能回答

1. 不看公式，用自己的话回答开头的核心问题。
2. 指出本页最重要公式中每个符号的类型：标量、向量、矩阵、映射还是集合。
3. 找出定理成立所需的假设，并举一个删除某条假设后可能失败的例子。
4. 对最小例子手算一遍；若本页含代码，再比较手算与程序输出。

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