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怎样从同调基、调和代表和 Hodge 星计算离散周期坐标？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

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14. 离散算法：从同调基到全纯微分

典型计算流程：

flowchart TD
    A[三角网格] --> B[计算 canonical homology basis]
    B --> C[为每个上同调类构造闭 1-形式]
    C --> D[能量最小化得到调和代表]
    D --> E[Hodge 星构造共轭形式]
    E --> F[组合成全纯 1-形式]
    F --> G[计算 a/b 周期并归一化]
    G --> H[切开网格并积分得到参数域]

14.1 构造闭 1-形式

对一条 cut graph 边或对偶循环，可构造具有指定 period 的初始闭 1-上链$\eta$。它通常不调和。

14.2 求调和代表

在同一上同调类中找最小能量代表：

$$\min_f\|\eta+df\|_{\star_1}^2.$$

法方程：

$$d_0^T\star_1d_0f =-d_0^T\star_1\eta.$$

得到

$$\alpha=\eta+df,$$

它闭且余闭，是该上同调类唯一调和代表。

14.3 构造全纯形式

连续理论给$\omega=\alpha+i\star\alpha$。离散 Hodge 星未必严格满足$\star^2=-1$，实际算法常在调和空间内求最接近的复结构算子，或同时求调和共轭并做周期归一化。

14.4 积分

沿切开后的单连通网格，从基点开始累计边 1-形式：

$$z_j-z_i=\omega_{ij}.$$

闭性确保同一单连通域内路径无关；跨越切缝时坐标相差一个周期。

15. 数值验证

一个全局微分算法至少检查：

1. 闭性：$\|d_1\alpha\|$；
2. 余闭性：$\|d_0^T\star_1\alpha\|$；
3. 周期：沿$a_i,b_i$ 的离散积分；
4. Riemann 矩阵：$\|\tau-\tau^T\|$ 与$\operatorname{Im}\tau$ 最小特征值；
5. 积分一致性：单连通切域中不同路径积分差；
6. 切缝粘合：成对边坐标差是否为常周期。

16. 与网格生成的关系

全纯 1-形式或二次微分提供方向场和自然坐标：

• $\operatorname{Re}\omega,\operatorname{Im}\omega$ 给局部正交坐标；
• 零点产生必要奇点；
• 轨线给出切图和 patch 边界；
• 在每个 patch 中生成规则三角/四边形网格；
• 按周期与边界对应粘合回原曲面。

拓扑决定奇点总指数，无法通过优化完全消除。

读完必须能回答

1. 不看公式，用自己的话回答开头的核心问题。
2. 指出本页最重要公式中每个符号的类型：标量、向量、矩阵、映射还是集合。
3. 找出定理成立所需的假设，并举一个删除某条假设后可能失败的例子。
4. 对最小例子手算一遍；若本页含代码，再比较手算与程序输出。

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