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连续微分形式怎样变成网格上的稀疏矩阵？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

开始前

三角网格上：

上一章的边界矩阵 $B_1,B_2$ 给出离散外微分：

d_0=B_1^T:C^0\to C^1,

d_1=B_2^T:C^1\to C^2.

由于 $B_1B_2=0$ ：

d_1d_0=B_2^TB_1^T=(B_1B_2)^T=0.

对边 $e=(i,j)$ ：

(d_0f)_{ij}=f_j-f_i.

对面 $t=(i,j,k)$ ：

(d_1\omega)_{ijk} =\omega_{ij}+\omega_{jk}+\omega_{ki}.

这部分完全由拓扑决定，不依赖顶点坐标和边长。

离散外微分只知道连接关系。要定义内积、伴随和 Laplacian，需要离散 Hodge 星矩阵 $\star_k$ 。

在离散外微分（DEC）的 circumcentric dual 中，常用对角近似：

(\star_k)_{\sigma^k,\sigma^k} =\frac{|\star\sigma^k|}{|\sigma^k|},

即对偶单元体积与原单元体积的比。

二维中：

(\star_0)_{ii}=|\star v_i|,

(\star_1)_{ee}=\frac{|\star e|}{|e|},

(\star_2)_{tt}=\frac{1}{|t|}.

离散 $k$ -形式内积是

\langle\alpha,\beta\rangle_k =\alpha^T\star_k\beta.

$d_{k-1}$ 关于上述内积的伴随满足

\delta_k =\star_{k-1}^{-1}d_{k-1}^T\star_k

（整体符号依约定）。于是离散 Hodge-Laplacian

\Delta_k=d_{k-1}\delta_k+\delta_{k+1}d_k.

给定离散 1-形式 $\omega$ ，希望求

\omega=d_0f+\delta_2\eta+h.

利用正交投影：

最小化

\min_f\|\omega-d_0f\|_{\star_1}^2.

法方程为

d_0^T\star_1d_0f=d_0^T\star_1\omega.

左侧正是 0-形式的 stiffness/Laplace 矩阵。常数函数位于零空间，所以必须固定一个顶点或加零均值约束。

可令 $\delta_2\eta=\star_1^{-1}d_1^T\star_2\eta$ ，再做相同的加权最小二乘。二维中也常将 2-形式写成标量势，通过旋转梯度求解。

h=\omega-d_0f-\delta_2\eta.

数值上检查

\|d_1h\|\approx0, \qquad \|\delta_1h\|\approx0.

在三角网格上，0-形式的离散 Laplace 能量可写成

E(f)=\frac12(d_0f)^T\star_1(d_0f) =\frac12 f^T(d_0^T\star_1d_0)f.

对内部边 $(i,j)$ ，若两侧对角为 $\alpha_{ij},\beta_{ij}$ ，则对应权重

w_{ij}=\frac12(\cot\alpha_{ij}+\cot\beta_{ij}).

因此

E(f)=\frac12\sum_{(i,j)\in E}w_{ij}(f_i-f_j)^2.

这表明余切权重不是经验技巧，而是离散 Hodge 星或分片线性有限元的自然结果。