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怎样把非共形部分单独量化，Beltrami 系数表示什么椭圆畸变？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

开始前

定义

\partial_z=\frac12(\partial_x-i\partial_y), \qquad \partial_{\bar z}=\frac12(\partial_x+i\partial_y).

于是

df=f_zdz+f_{\bar z}d\bar z.

全纯条件就是

f_{\bar z}=0.

一般方向保持映射可写成 Beltrami 方程

\boxed{f_{\bar z}=\mu(z)f_z,\qquad |\mu|<1.}

$\mu$ 称为 Beltrami 系数。

局部可写成

df=f_z(dz+\mu d\bar z).

单位圆被映成椭圆，其长短半轴为

|f_z|(1+|\mu|), \qquad |f_z|(1-|\mu|).

因此最大伸缩比

\boxed{K=\frac{1+|\mu|}{1-|\mu|}}

且反解

|\mu|=\frac{K-1}{K+1}.

$\arg\mu/2$ 给出最大拉伸方向。 $\mu=0$ 当且仅当映射共形。

J_f=|f_z|^2-|f_{\bar z}|^2 =|f_z|^2(1-|\mu|^2).

所以 $|\mu|<1$ 保证局部方向保持； $|\mu|\to1$ 时映射趋于退化。