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最小二乘共形映射怎样形成矩阵，为什么低能量仍可能翻转？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

开始前

在局部复坐标 $z_i=x_i+iy_i$ 中，线性 UV 函数 $w=u+iv$ 的反全纯导数在三角形内为常数。可将每个三角形贡献写成

E_t=\frac1{4A_t} \left| (w_j-w_i)(z_k-z_i) -(w_k-w_i)(z_j-z_i) \right|_{\text{anti}}^2,

更方便的实现形式是直接离散 Cauchy–Riemann 残差。设

\nabla u=\sum_{a\in\{i,j,k\}}u_a\nabla\phi_a, \qquad \nabla v=\sum_av_a\nabla\phi_a.

三角形残差：

r_t= \begin{bmatrix} u_x-v_y\\u_y+v_x \end{bmatrix} =C_tx_t,

x_t=(u_i,u_j,u_k,v_i,v_j,v_k)^T.

局部能量

E_t=A_t\|C_tx_t\|^2,

局部 Hessian

H_t=2A_tC_t^TC_t.

把 $H_t$ scatter-add 到全局矩阵 $H$ 。因为平移、旋转和缩放不改变共形性，系统有相似变换自由度；通常固定两个不同顶点的 UV 坐标，或添加规范化约束。

将所有未知量排列为

x=(u_1,\ldots,u_n,v_1,\ldots,v_n)^T.

问题：

\min_x\frac12x^THx \quad\text{s.t.}\quad Cx=d.

KKT 系统：

\boxed{ \begin{bmatrix} H&C^T\\C&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\\lambda\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\d\end{bmatrix}. }

或者消去固定变量，只解自由变量：

H_{FF}x_F=-H_{FC}x_C.

锚点应尽量相隔较远，否则尺度规范化病态。

LSCM 最小化二次能量，但可行域没有包含 $\det J_t>0$ 约束。特别是：

都可能出现翻转。需要显式 barrier，例如对 $\det J_t$ 加

-\mu\log\det J_t

或使用本身在 $\det J\to0^+$ 时发散的 symmetric Dirichlet 能量并配合 line search。