CCG C05：几何复分析：模、容量与极值长度
模块定位
核心问题：怎样用曲线族而不是坐标公式定义共形不变量？
本页是“大而全”课程中的模块级教学提纲。每一个表格行都将独立成单概念短课；短课必须包含定义、推导、反例、计算例子和带答案自测，不能只给名词解释。
前置知识
- F04 复分析
- 模块 04 共形理论
逐课目录
| 编号 | 单概念课 | 展开标准 |
|---|---|---|
| C05-01 | 环域与 conformal module | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| C05-02 | 曲线族 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| C05-03 | admissible metric | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| C05-04 | 极值长度 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| C05-05 | 容量 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| C05-06 | Dirichlet 原理 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| C05-07 | 共轭调和函数 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| C05-08 | 四边形模 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| C05-09 | 环域标准化 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| C05-10 | Grötzsch 问题 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| C05-11 | 共形不变量的单调性 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| C05-12 | 离散 extremal length | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
理论主线
- 极值长度的共形不变性
- 环域模与容量的对偶关系
- 矩形模的 Dirichlet 能量刻画
- 拟共形映射下模的不等式
计算与证明双线要求
学习本模块时，每个理论点都必须同时回答：
- 对象的严格定义是什么；
- 最小非平凡例子是什么；
- 定理使用了哪些假设；
- 去掉假设后有什么反例；
- 连续对象怎样离散存储；
- 离散算法怎样验证正确性和收敛性。
模块出口能力
- 用调和函数计算四边形模
- 用模比较曲面形状
- 为 circle-domain 算法建立误差指标
状态说明
本模块已经进入课程总图谱并完成逐课拆分。后续内容扩写按编号进行，不会再把整组理论压回一篇长文章。
许可协议：CC BY
作者：Davids
本文链接：https://hustjjd.github.io/ccg/atlas/geometric-complex-analysis/
更新于：2026年10月12日