本课只解决一个问题

只数网格中的顶点、边和面，为什么就能得到一个不随重新剖分改变的拓扑数？

1. 单纯形

低维单纯形是：

• $0$-单纯形：顶点；
• $1$-单纯形：边；
• $2$-单纯形：三角形；
• $3$-单纯形：四面体。

三角网格是许多$0,1,2$-单纯形按公共面拼起来的单纯复形。

2. 为什么不能随便拼三角形

单纯复形要求：

1. 一个单纯形的每个面也包含在复形中；
2. 两个单纯形的交若非空，必须是双方共同的完整面。

因此两个三角形不能只在一条边的半段重叠，也不能彼此穿过却不添加交点。

3. 组合结构与几何结构

网格有两层信息：

Euler 示性数只依赖组合结构。把顶点坐标移动得再远，只要连接关系不变，$\chi$ 不变。

4. Euler 示性数

对有限二维三角复形，定义

$$\chi=V-E+F,$$

其中$V,E,F$ 分别为顶点、无向边、三角形数量。

单个三角形

$$V=3,\quad E=3,\quad F=1,$$

所以

$$\chi=3-3+1=1.$$

它与圆盘同胚，圆盘的 Euler 示性数为$1$。

5. 细分为什么不改变$\chi$

在一个三角形内部加入新顶点，并连接到三个旧顶点：

• $\Delta V=1$；
• $\Delta E=3$；
• 原来一个面变三个面，所以$\Delta F=2$。

于是

$$\Delta\chi=1-3+2=0.$$

边中点细分也可逐步验证$V-E+F$ 不变。一般三角剖分之间可通过保持拓扑的局部操作联系，因此$\chi$ 是拓扑不变量。

6. 闭可定向曲面的分类公式

亏格$g$ 是“把手数”。对闭、连通、可定向曲面：

$$\chi=2-2g.$$

若有$b$ 个边界分支：

$$\chi=2-2g-b.$$

圆盘$g=0,b=1$，故$\chi=1$；圆柱$g=0,b=2$，故$\chi=0$。

7. 四面体表面例子

四面体表面有

$$V=4,\quad E=6,\quad F=4,$$

所以

$$\chi=4-6+4=2.$$

这与球面一致。四面体表面虽然有尖角，但拓扑上是球面。

8. 怎样正确数边

面数组中每个三角形列出三条边，但内部边被两个面重复列出。必须将端点排序后去重：

def unique_edges(faces):
    edges = set()
    for i, j, k in faces:
        edges.add(tuple(sorted((i, j))))
        edges.add(tuple(sorted((j, k))))
        edges.add(tuple(sorted((k, i))))
    return edges

直接使用$E=3F$ 会把内部边算两次，得到错误的$\chi$。

9. Euler 数能做什么，不能做什么

它适合：

• 快速发现漏面、重复面或意外边界；
• 在已知可定向、连通、边界数时反推亏格；
• 检查切割前后拓扑变化。

它不能单独区分所有空间；不同拓扑空间可能拥有相同$\chi$。还需结合边界、可定向性、基本群或同调。

10. 常见误区

1. 边必须按无向边去重后再计数。
2. $V-E+F$ 对非流形或不完整数据仍能算出数，但未必能套用曲面分类公式。
3. $\chi=2$ 不自动证明输入就是正常球面，还需检查连通、闭合和流形性。
4. 几何上有凹陷不等于拓扑上多了洞。

11. 自测与答案

题 1。 两个三角形沿一条边拼成方形，求$V,E,F,\chi$。

答案。$V=4,E=5,F=2$，所以$\chi=1$，与圆盘一致。

题 2。 闭可定向曲面若$\chi=-4$，亏格是多少？

答案。$-4=2-2g$，所以$g=3$。

题 3。 圆环区域$g=0,b=2$ 的$\chi$ 是多少？

答案。$2-0-2=0$。

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