本课只解决一个问题

怎样用数字描述“转了多少”，并从三条边算出三角形的角？

共形映射的核心是局部保持角度。若角度和三角函数没有真正掌握，后面的“保角”只会变成一句口号。

1. 角度测量的是旋转量

一整圈可以分成$360^\circ$，也可以记为$2\pi$ 弧度。因此

$$180^\circ=\pi,\qquad 90^\circ=\frac\pi2.$$

微积分默认使用弧度，因为只有弧度下才有简洁公式

$$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x.$$

角度不是边长。把一个三角形整体放大两倍，边长改变，角度不变。

2. 弧度从哪里来

半径为$r$ 的圆上，圆心角$\theta$ 对应弧长$s$。弧度定义为

$$\theta=\frac{s}{r}.$$

整圆的弧长是$2\pi r$，所以整圈角度为$2\pi r/r=2\pi$。

这个定义没有单位依赖：圆放大后$s$ 和$r$ 同时放大，比值不变。

3. 单位圆定义正弦和余弦

在半径为$1$ 的圆上，从点$(1,0)$ 逆时针转过角$\theta$，到达点

$$(\cos\theta,\sin\theta).$$

因此$\cos\theta$ 是横坐标，$\sin\theta$ 是纵坐标。由圆方程$x^2+y^2=1$，立刻得到

$$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1.$$

几个必须熟悉的值：

4. 正切表示斜率

当$\cos\theta\ne0$ 时，定义

$$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}.$$

从原点指向$(\cos\theta,\sin\theta)$ 的直线斜率正是$\tan\theta$。这把“旋转角”与“直线有多斜”联系起来。

5. 点积怎样给出夹角

两个非零向量$a,b$ 的夹角$\theta$ 满足

$$\cos\theta=\frac{a\cdot b}{\|a\|\|b\|}.$$

这条公式的意义先于计算：

• $\cos\theta=1$：同方向；
• $\cos\theta=0$：垂直；
• $\cos\theta=-1$：反方向。

下一课会从余弦定理推导它。

6. 余弦定理：从三条边恢复角度

三角形三边长度分别为$a,b,c$，角$\gamma$ 位于边$a,b$ 之间，且对着边$c$。余弦定理为

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma.$$

移项后

$$\cos\gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab},$$

所以

$$\gamma=\arccos\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right).$$

这就是离散几何从网格边长恢复三角形内角的基本公式。

7. 手算例子

边长为$a=3,b=4,c=5$：

$$\cos\gamma =\frac{3^2+4^2-5^2}{2\cdot3\cdot4} =\frac{9+16-25}{24}=0.$$

所以$\gamma=\pi/2$，这是直角三角形。

再看等边三角形$a=b=c=1$：

$$\cos\gamma=\frac{1+1-1}{2}=\frac12,$$

故$\gamma=\pi/3=60^\circ$。

8. 三角形不等式不是可选条件

三个正数能成为三角形边长，当且仅当

$$a+b>c,\qquad b+c>a,\qquad c+a>b.$$

例如$1,2,4$ 不能组成三角形，因为$1+2<4$。数值算法更新边长后必须检查这些不等式，否则角度公式会失去几何意义。

9. 角度为什么是共形量

若所有长度同时乘以$\lambda>0$，余弦定理中的分子和分母都乘以$\lambda^2$，比值不变：

$$\frac{(\lambda a)^2+(\lambda b)^2-(\lambda c)^2} {2(\lambda a)(\lambda b)} =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.$$

所以统一缩放保持角度。共形映射在每个足够小的邻域里就像“旋转加统一缩放”，因此局部角度不变。

10. 常见误区

1. 计算器可能处于角度制，而公式和代码通常使用弧度制。
2. $\cos^{-1}x$ 在这里表示$\arccos x$，不是$1/\cos x$。
3. 浮点误差可能让理论上属于$[-1,1]$ 的余弦值略微越界，代码中应裁剪。
4. 只保持一个三角形的三个角，并不自动保证整个网格没有翻转。

11. 最小代码实验

import numpy as np

def angle_from_sides(a, b, c):
    cosine = (a*a + b*b - c*c) / (2*a*b)
    cosine = np.clip(cosine, -1.0, 1.0)
    return np.arccos(cosine)

print(angle_from_sides(3, 4, 5))          # 1.570796... = pi/2
print(np.degrees(angle_from_sides(1, 1, 1)))  # 60.0

12. 自测与答案

题 1。$60^\circ$ 等于多少弧度？

答案。$60/180\cdot\pi=\pi/3$。

题 2。 边长$2,2,2$ 的三角形整体放大为$10,10,10$，角度是否改变？

答案。 不改变，三个角仍为$60^\circ$。

题 3。$2,3,5$ 能否构成非退化三角形？

答案。 不能，因为$2+3=5$，三点落在一条直线上，面积为零。

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