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二维曲率在共形缩放下怎样变化，流如何把曲率推向目标？

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1. 连续二维 Ricci 流

一般 Ricci 流：

$$\frac{\partial g}{\partial t}=-2\operatorname{Ric}(g).$$

二维中

$$\operatorname{Ric}=Kg,$$

所以

$$\frac{\partial g}{\partial t}=-2Kg.$$

这是纯共形变化。若$g(t)=e^{2u(t)}g_0$，则

$$2\frac{\partial u}{\partial t}g =-2Kg,$$

故

$$\frac{\partial u}{\partial t}=-K.$$

1.1 归一化 Ricci 流

为了保持面积，使用平均曲率

$$\bar K=\frac{\int_MK,dA}{\operatorname{Area}(M)} =\frac{2\pi\chi(M)}{\operatorname{Area}(M)},$$

并令

$$\boxed{ \frac{\partial g}{\partial t} =-2(K-\bar K)g, \qquad \frac{\partial u}{\partial t}=\bar K-K. }$$

曲率高于平均处收缩，低于平均处膨胀，最终趋向常曲率度量（在相应条件下）。

2. 共形曲率变换与 Yamabe 方程

若

$$\tilde g=e^{2u}g,$$

二维曲率满足

$$K_{\tilde g}=e^{-2u}(K_g-\Delta_gu).$$

给定目标曲率$\bar K(x)$，求$u$ 满足

$$\boxed{-\Delta_gu+K_g=\bar K e^{2u}.}$$

它是非线性椭圆 PDE。Gauss–Bonnet 给出必要兼容条件：

$$\int_M\bar K,dA_{\tilde g}=2\pi\chi(M).$$

离散情形也必须满足目标曲率总和约束。

读完必须能回答

1. 不看公式，用自己的话回答开头的核心问题。
2. 指出本页最重要公式中每个符号的类型：标量、向量、矩阵、映射还是集合。
3. 找出定理成立所需的假设，并举一个删除某条假设后可能失败的例子。
4. 对最小例子手算一遍；若本页含代码，再比较手算与程序输出。

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