CCG T02：微分拓扑进阶：指标、纤维丛与正则同伦

Base Knowledge, Mathematics, 计算共形几何, 02 扩展课程, 02 拓扑与连续几何, 01 微分拓扑进阶 2026-10-12 2026-10-12 614 字
# 计算共形几何# 核心理论扩展

模块定位

核心问题：局部向量场奇点怎样编码全局拓扑，曲面浸入又有哪些不可见约束？

本页是“大而全”课程中的模块级教学提纲。每一个表格行都将独立成单概念短课；短课必须包含定义、推导、反例、计算例子和带答案自测，不能只给名词解释。

前置知识

  • 模块 01 曲面拓扑
  • 模块 02 微分形式
  • F01 证明语言

逐课目录

编号单概念课展开标准
T02-01正则值与横截性从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途
T02-02浸入、嵌入与 Whitney 思想从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途
T02-03向量场零点指标从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途
T02-04映射度从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途
T02-05Brouwer 不动点从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途
T02-06Poincaré-Hopf 定理从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途
T02-07切丛与一般纤维丛从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途
T02-08截面与过渡函数从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途
T02-09Euler 类从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途
T02-10Stiefel-Whitney 类从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途
T02-11Gauss 映射度从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途
T02-12曲线与曲面的正则同伦从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途

理论主线

  • 正则值原像定理
  • Brouwer 不动点定理
  • Poincaré-Hopf 指标定理
  • Gauss-Bonnet 与 Euler 类的联系
  • Smale-Hirsch 正则同伦思想

计算与证明双线要求

学习本模块时，每个理论点都必须同时回答：

  1. 对象的严格定义是什么；
  2. 最小非平凡例子是什么；
  3. 定理使用了哪些假设；
  4. 去掉假设后有什么反例；
  5. 连续对象怎样离散存储；
  6. 离散算法怎样验证正确性和收敛性。

模块出口能力

  • 计算离散向量场奇点指标
  • 用指标和检验向量场数据
  • 区分浸入、自交与嵌入

状态说明

本模块已经进入课程总图谱并完成逐课拆分。后续内容扩写按编号进行，不会再把整组理论压回一篇长文章。

许可协议：CC BY
作者：Davids
本文链接：https://hustjjd.github.io/ccg/atlas/advanced-differential-topology/
更新于：2026年10月12日