自动关联目录：共形结构、一致化与复分析

本章目标

共形映射的“保角”定义很直观，但不足以支撑算法。本章将证明或解释以下等价刻画：

$$\begin{array}{c} \text{保持有向角度}\\ \Updownarrow\\ J_f^TJ_f=\lambda^2I\\ \Updownarrow\\ f^*g_N=\lambda^2g_M\\ \Updownarrow\\ f_{\bar z}=0\quad(\text{局部复坐标}) \end{array}$$

随后讨论 Möbius 变换、Riemann 映射定理、等温坐标、一致化定理和拟共形映射。

1. 平面线性映射何时保角

设可逆线性映射$A:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$。它保持任意向量夹角，当且仅当存在$\lambda>0$ 和正交矩阵$R$ 使

$$A=\lambda R.$$

若还保持方向，则$R\in SO(2)$ 是旋转。

1.1 必要性的推导

设$e_1,e_2$ 为标准正交基。保角给出$Ae_1\perp Ae_2$。还需证明两者长度相等。考虑$e_1+e_2$ 与$e_1-e_2$，它们也正交，所以

$$0=\langle A(e_1+e_2),A(e_1-e_2)\rangle =\|Ae_1\|^2-\|Ae_2\|^2.$$

因此$\|Ae_1\|=\|Ae_2\|=\lambda$，于是$A^TA=\lambda^2I$。

1.2 SVD 解释

$$A=U\begin{bmatrix}\sigma_1&0\\0&\sigma_2\end{bmatrix}V^T.$$

单位圆被映成半轴为$\sigma_1,\sigma_2$ 的椭圆。共形当且仅当

$$\sigma_1=\sigma_2.$$

条件数/最大伸缩比

$$K(A)=\frac{\sigma_1}{\sigma_2}\ge1$$

是最直接的离散共形畸变。

2. 光滑映射的局部共形条件

对光滑映射$f:\Omega\subset\mathbb R^2\to\mathbb R^2$，在点$p$ 附近

$$f(p+h)=f(p)+J_f(p)h+o(\|h\|).$$

因此$f$ 在$p$ 保持有向角度，当且仅当

$$J_f(p)^TJ_f(p)=\lambda(p)^2I, \qquad \det J_f(p)>0.$$

局部面积缩放为

$$\det J_f=\lambda^2.$$

注意：$\lambda$ 可随位置变化，所以共形映射一般不保持长度和面积。

3. 度量拉回定义

设$(M,g)$、$(N,h)$ 是黎曼曲面，$f:M\to N$ 光滑。拉回度量定义为

$$(f^*h)_p(X,Y)=h_{f(p)}(df_pX,df_pY).$$

$f$ 共形，当存在正函数$\lambda:M\to\mathbb R_+$ 使

$$\boxed{f^*h=\lambda^2g.}$$

于是

$$\cos\angle(dfX,dfY) =\frac{\lambda^2g(X,Y)} {\lambda\|X\|_g\lambda\|Y\|_g} =\cos\angle(X,Y).$$

这一定义与坐标选择无关。

3.1 等距、共形、保面积

除特殊情况外，不可能同时要求全局等距、共形、保面积和无切缝。

4. 复可微与 Cauchy–Riemann 方程

把$(x,y)$ 写成$z=x+iy$，映射

$$f(z)=u(x,y)+iv(x,y).$$

复导数要求极限

$$f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}$$

与$h$ 接近 0 的方向无关。

沿实轴$h=t$：

$$f'(z_0)=u_x+iv_x.$$

沿虚轴$h=it$：

$$f'(z_0)=\frac{u_y+iv_y}{i}=v_y-iu_y.$$

相等得到 Cauchy–Riemann 方程：

$$\boxed{u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x.}$$

于是 Jacobian

$$J_f= \begin{bmatrix} u_x&u_y\\v_x&v_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a&-b\\b&a \end{bmatrix}.$$

这正是复数乘法$a+ib$ 的实矩阵：缩放$\sqrt{a^2+b^2}$ 加旋转。

若$f'(z_0)\ne0$，则$f$ 在$z_0$ 局部共形。若导数为 0，例如$f(z)=z^2$ 在原点，则角度会乘以分支次数，不能称作局部微分同胚意义下的共形映射。

5. Wirtinger 导数与 Beltrami 方程

定义

$$\partial_z=\frac12(\partial_x-i\partial_y), \qquad \partial_{\bar z}=\frac12(\partial_x+i\partial_y).$$

于是

$$df=f_zdz+f_{\bar z}d\bar z.$$

全纯条件就是

$$f_{\bar z}=0.$$

一般方向保持映射可写成 Beltrami 方程

$$\boxed{f_{\bar z}=\mu(z)f_z,\qquad |\mu|<1.}$$

$\mu$ 称为 Beltrami 系数。

5.1$\mu$ 的几何意义

局部可写成

$$df=f_z(dz+\mu d\bar z).$$

单位圆被映成椭圆，其长短半轴为

$$|f_z|(1+|\mu|), \qquad |f_z|(1-|\mu|).$$

因此最大伸缩比

$$\boxed{K=\frac{1+|\mu|}{1-|\mu|}}$$

且反解

$$|\mu|=\frac{K-1}{K+1}.$$

$\arg\mu/2$ 给出最大拉伸方向。$\mu=0$ 当且仅当映射共形。

5.2 面积 Jacobian

$$J_f=|f_z|^2-|f_{\bar z}|^2 =|f_z|^2(1-|\mu|^2).$$

所以$|\mu|<1$ 保证局部方向保持；$|\mu|\to1$ 时映射趋于退化。

6. 全纯函数的刚性

Cauchy–Riemann 方程带来强约束：

6.1 实部与虚部调和

由

$$u_x=v_y,qquad u_y=-v_x$$

交叉求导：

$$u_{xx}+u_{yy}=v_{yx}-v_{xy}=0,$$

$$v_{xx}+v_{yy}=0.$$

所以全纯函数的实部和虚部都是调和函数，并且互为调和共轭。

反过来，在单连通域中，任意调和函数$u$ 都局部/全局存在调和共轭$v$，使$u+iv$ 全纯。多连通域的障碍是周期。

6.2 最大模原理与唯一性

非常数全纯函数的$|f|$ 不在内部取最大值。结合边界条件，许多共形映射具有唯一性。

7. 基本共形映射

7.1 仿射复映射

$$f(z)=az+b,qquad a\ne0.$$

平移、旋转和统一缩放。

7.2 幂映射

$$f(z)=z^\alpha.$$

辐角变为$\alpha\arg z$，可把夹角为$\theta$ 的楔形域映到夹角为$\alpha\theta$ 的楔形域。非整数$\alpha$ 需要选择分支切线。

7.3 指数与对数

$$w=e^z=e^x(\cos y+i\sin y)$$

把水平条带映到角域/穿孔平面。$\log z$ 是其局部逆，把乘法结构转成加法和周期。

7.4 Möbius 变换

扩充复平面$\widehat{\mathbb C}=\mathbb C\cup\{\infty\}$ 上

$$f(z)=\frac{az+b}{cz+d}, \qquad ad-bc\ne0.$$

矩阵

$$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$$

乘非零标量表示同一变换，因此 Möbius 群是$PSL(2,\mathbb C)$（精确群取决于归一化）。

它具有：

• 保持广义圆（圆或直线）；
• 由三个点的像唯一决定；
• 保持交比

  $$[z_1,z_2;z_3,z_4] =\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}.$$

单位圆盘的自同构为

$$f(z)=e^{i\theta}\frac{z-a}{1-\bar a z}, \qquad |a|<1.$$

8. Riemann 映射定理

若$\Omega\subsetneq\mathbb C$ 是非空单连通开集，则存在双全纯映射

$$f:\Omega\to\mathbb D.$$

若指定一点$z_0\in\Omega$ 满足

$$f(z_0)=0, \qquad f'(z_0)>0,$$

则映射唯一。

8.1 它没有说什么

• 不直接给出数值算法；
• 不适用于整个复平面；
• 不说明边界一定光滑延拓；
• 不适用于多连通域的单位圆盘映射；
• 不保证面积或长度畸变小。

多连通平面域需要圆域定理（Koebe uniformization）：适当条件下可共形映到边界分支为圆的圆域。

9. 等温坐标

二维黎曼曲面局部存在坐标$(x,y)$，使

$$g=e^{2u(x,y)}(dx^2+dy^2).$$

这相当于说任意二维度量局部都只差一个标量共形因子。证明可通过解 Beltrami 方程或调和坐标完成。

9.1 从一般度量得到 Beltrami 系数

一般二维度量

$$g=E,dx^2+2F,dxdy+G,dy^2$$

可以唯一写成

$$g=\rho(z)|dz+\mu(z)d\bar z|^2, \qquad \rho>0,\quad|\mu|<1.$$

求解坐标变换的 Beltrami 方程，就能把$\mu$ 消去，得到等温坐标。

9.2 等温坐标中的公式简化

若$g=e^{2u}|dz|^2$：

$$\Delta_g=e^{-2u}\Delta_0,$$

$$K=-e^{-2u}\Delta_0u.$$

Dirichlet 能量在二维共形变换下不变：若$\tilde g=e^{2u}g$，则

$$|df|_{\tilde g}^2dA_{\tilde g} =e^{-2u}|df|_g^2e^{2u}dA_g =|df|_g^2dA_g.$$

这是二维调和映射与共形几何特别契合的根本原因。

10. 共形图册与黎曼面

一个定向二维流形的图册$\{(U_\alpha,z_\alpha)\}$ 若所有过渡函数

$$z_\beta\circ z_\alpha^{-1}$$

都是全纯函数，则称为共形图册。互相兼容的最大共形图册定义共形结构；带共形结构的曲面就是黎曼面。

二维中存在三类等价结构：

$$\boxed{ \text{共形结构} \Longleftrightarrow \text{复结构} \Longleftrightarrow \text{黎曼度量的共形等价类} }$$

这里“度量共形等价类”指

$$[g]=\{e^{2u}g:u\in C^\infty(M)\}.$$

11. 一致化定理

每个单连通黎曼面共形等价于以下三者之一：

1. Riemann 球面$\widehat{\mathbb C}$；
2. 复平面$\mathbb C$；
3. 单位圆盘$\mathbb D$。

等价地，任意黎曼曲面的通用覆盖具有常高斯曲率度量：

为何由亏格决定，可由 Gauss–Bonnet 看出：常曲率$K$ 满足

$$K\operatorname{Area}(M)=2\pi\chi(M)=4\pi(1-g).$$

因此$g=0,1,\ge2$ 分别对应正、零、负曲率符号。

11.1 唯一性要模掉自同构

一致化映射通常不是唯一的：球面有 Möbius 自同构，圆盘也有三实维自同构群。数值计算必须固定足够多的锚点或归一化条件。

12. 球面的立体投影

从北极把单位球面投到赤道平面。若平面复坐标为$z=x+iy$，逆立体投影为

$$X(z)=\frac1{1+|z|^2} \left(2x,2y,|z|^2-1\right).$$

计算第一基本形式得到

$$ds_{S^2}^2 =\frac{4}{(1+|z|^2)^2}|dz|^2.$$

所以立体投影共形，共形因子

$$\lambda(z)=\frac{2}{1+|z|^2}.$$

当$|z|\to\infty$ 时对应北极。平面需要加入无穷远点才得到完整球面。

13. Poincaré 圆盘模型

单位圆盘上的双曲度量为

$$ds_{\mathbb H}^2 =\frac{4|dz|^2}{(1-|z|^2)^2}.$$

它与欧氏度量共形，所以欧氏角度与双曲角度相同，但长度不同。趋近单位圆时度量因子趋于无穷，边界位于无限双曲距离处。

测地线是与单位圆正交的圆弧或过原点的直径。亏格$g\ge2$ 曲面可表示为双曲平面的基本多边形按 Fuchsian 群粘合。

14. 调和映射与共形映射

设$f:M\to N$ 是定向曲面间映射。在局部复坐标中能量密度分解为

$$e(f)\propto |f_z|^2+|f_{\bar z}|^2,$$

面积密度为

$$J(f)\propto |f_z|^2-|f_{\bar z}|^2.$$

两者之差：

$$E(f)-\operatorname{Area}(f) \propto\int_M|f_{\bar z}|^2dA\ge0.$$

因此共形映射使反全纯部分消失，并达到能量-面积下界。

但要注意：

• 调和不自动推出共形；
• 从二维域到平面的调和映射若满足额外条件才共形；
• 调和映射依赖边界条件和同伦类；
• 分支点处导数可能为 0。

15. 拟共形映射

$K$-拟共形映射允许有界角度畸变：

$$\|Df\|^2\le KJ_f$$

（不同文献的范数与$K$ 约定略有区别），等价于

$$\|\mu\|_\infty\le k<1, \qquad K=\frac{1+k}{1-k}.$$

拟共形理论对计算特别重要，因为完全共形通常受边界、拓扑和离散误差限制，而$\mu$ 是一个可优化、可插值、可组合的畸变量。

15.1 Beltrami 系数的复合律

若$f,g$ 可微且方向保持，复合$g\circ f$ 的 Beltrami 系数满足一个分式线性组合。重要结论是：拟共形映射在复合和求逆下封闭；但畸变会累积。

16. 数值算法的三条路线

它们并非彼此独立：调和映射从能量出发，Cauchy–Riemann 从复结构出发，曲率流从共形度量出发，最终都在构造同一个共形结构的不同表示。

17. Python：Jacobian、Beltrami 与奇异值

import numpy as np


def distortion_from_jacobian(J):
    """返回面积 Jacobian、奇异值比 K 和 |mu|。"""
    J = np.asarray(J, dtype=float).reshape(2, 2)
    det = np.linalg.det(J)
    sigma = np.linalg.svd(J, compute_uv=False)
    K = np.inf if sigma[1] == 0 else sigma[0] / sigma[1]
    mu_abs = 1.0 if np.isinf(K) else (K - 1.0) / (K + 1.0)
    return det, K, mu_abs


tests = {
    "similarity": [[0.0, -2.0], [2.0, 0.0]],
    "anisotropic": [[3.0, 0.0], [0.0, 1.0]],
    "shear": [[1.0, 0.7], [0.0, 1.0]],
    "flip": [[-1.0, 0.0], [0.0, 1.0]],
}

for name, J in tests.items():
    det, K, mu_abs = distortion_from_jacobian(J)
    print(name, "det=", det, "K=", K, "|mu|=", mu_abs)

只看$K$ 无法检测翻转，因为反射的两个奇异值也相等。必须同时检查$\det J>0$。

18. 常见逻辑错误

1. 共形等于等距：错。共形允许位置相关的统一缩放。
2. $J^TJ=\lambda^2I$ 就够了：若要求有向共形，还需$\det J>0$。
3. 全纯函数处处共形：导数为 0 的分支点除外。
4. 球面可共形无缝展开到有限平面：缺少投影点；需要极点或多张图。
5. Riemann 映射适用于任意曲面：它是平面单连通域定理；一般曲面用一致化。
6. 调和映射必共形：缺少能量-面积等号或 Hopf differential 为 0 等条件。
7. $|\mu|$ 越小面积畸变越小：$\mu$ 只控制各向异性，不控制统一尺度。

19. 习题

计算题

1. 对$f(z)=z^2$ 计算$J_f$、$f_z$、$f_{\bar z}$，分析原点。
2. 对实线性映射$f(z)=az+b\bar z$ 计算$\mu$、$K$ 和面积 Jacobian。
3. 构造一个把上半平面映到单位圆盘的 Möbius 变换。
4. 推导立体投影度量并验证它共形。
5. 验证 Poincaré 圆盘的旋转$z\mapsto e^{i\theta}z$ 是等距变换。

证明题

1. 证明保角可逆线性映射必为$\lambda R$。
2. 从 Cauchy–Riemann 方程证明实部、虚部调和。
3. 证明 Möbius 变换保持交比，并由此保持广义圆。
4. 证明二维 Dirichlet 能量在域度量共形变化下不变。
5. 用 Gauss–Bonnet 解释紧致曲面一致化曲率的符号为何由亏格决定。

实现题

1. 对每个 UV 三角形计算局部 Jacobian、$K$、$\mu$ 与翻转标志。
2. 绘制$K$ 和$\log J$ 两张误差热图，观察角度畸变与面积畸变的差异。
3. 用三个点归一化两个球面 Möbius 映射，比较归一化前后的参数化。
4. 数值求解一个矩形到圆盘的调和映射，并检查它是否真正共形。

20. 本章结论

共形几何在二维有四个互相连接的入口：

$$\boxed{ \text{线性代数（SVD）} \leftrightarrow \text{黎曼度量（拉回）} \leftrightarrow \text{复分析（全纯/Beltrami）} \leftrightarrow \text{变分法（调和能量）} }$$

离散算法的质量，取决于它是否忠实保留了这些等价关系中的一部分，以及离散后还剩下哪些存在性和唯一性保证。

下一篇将从有限元和离散外微分推导余切 Laplacian、离散曲率、Tutte 与 LSCM：离散曲面与共形算法。