本课只解决一个问题

如果不允许测量长度和角度，怎样仍然精确描述“哪些点彼此邻近”？

拓扑的答案是：指定哪些集合算开集。开始前只需要函数与坐标中集合和原像的概念。

1. 集合语言

若集合 $A$ 的每个元素也属于 $X$ ，记作

A\subseteq X.

两个基本运算：

A\cup B=\text{属于 }A\text{ 或 }B\text{ 的元素},

A\cap B=\text{同时属于 }A\text{ 和 }B\text{ 的元素}.

空集 $\varnothing$ 不含任何元素。

2. 数轴上的开区间

开区间

(a,b)=\{x\in\mathbb R:a<x<b\}

不包含端点。它有一个关键性质：对其中任意点 $x$ ，都能找到足够小的 $\varepsilon>0$ ，使

(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset(a,b).

直觉上，每个点周围都留有一点活动空间。

闭区间 $[a,b]$ 的端点没有这种双侧活动空间，所以它不是实数轴中的开集。

3. 平面中的开集

点 $p$ 周围半径 $r$ 的开圆盘为

B_r(p)=\{q\in\mathbb R^2:\|q-p\|<r\}.

若集合 $U\subset\mathbb R^2$ 中每个点 $p$ 都包含在某个完全落于 $U$ 的小圆盘 $B_r(p)$ 内，则 $U$ 是开集。

这里暂时用了距离。抽象拓扑会保留“哪些集合是开集”，丢掉具体半径。

4. 拓扑空间的定义

给定集合 $X$ ，挑出一族子集 $\mathcal T$ 。若满足：

$\varnothing,X\in\mathcal T$ ；
任意多个 $\mathcal T$ 中集合的并仍在 $\mathcal T$ 中；
有限多个 $\mathcal T$ 中集合的交仍在 $\mathcal T$ 中；

则 $\mathcal T$ 是 $X$ 上的拓扑， $(X,\mathcal T)$ 是拓扑空间， $\mathcal T$ 的元素叫开集。

为什么允许任意并，却只要求有限交

开区间

U_n=(-1/n,1/n)

都是开集，但无限交

\bigcap_{n=1}^\infty U_n=\{0\}

不是实数轴中的开集。因此若强迫无限交仍开，会排除熟悉的欧氏拓扑。

5. 一个有限集合例子

令 $X=\{a,b,c\}$ ，考虑

\mathcal T=\{\varnothing,\{a\},\{a,b\},X\}.

它确实满足三条公理，所以是一个拓扑。注意开集不必长得像圆；“开”由规则决定。

而

\{\varnothing,\{a\},\{b\},X\}

不是拓扑，因为 $\{a\}\cup\{b\}=\{a,b\}$ 没被包含。

6. 邻域

集合 $N$ 是点 $p$ 的邻域，如果存在开集 $U$ 满足

p\in U\subseteq N.

邻域表达“只看点附近”。流形、连续、局部坐标和局部共形都依赖它。

7. 连续性的拓扑定义

函数 $f:X\to Y$ 连续，当且仅当 $Y$ 中每个开集 $U$ 的原像

f^{-1}(U)=\{x\in X:f(x)\in U\}

在 $X$ 中也是开集。

直觉是：目标中一个允许的小邻域，拉回输入后仍是允许的邻域，没有突然撕裂。

为什么用原像而不用像

连续函数不一定把开集映成开集。例如常值函数把整个开区间映成单点，单点通常不开放；但常值函数显然连续。原像定义才与熟悉的极限定义一致。

8. 拓扑忽略什么、保留什么

拓扑保留：

连通性；
边界结构；
闭路能否收缩；
洞的数量。

拓扑不保留：

长度和面积；
角度；
曲率。

所以拓扑是计算共形几何的第一层，不是全部。先确定“曲面是哪一种”，再谈怎样测量它。

9. 常见误区

“开集”不是说集合没有边界，而是它不包含相对于所在空间的边界点。
同一子集在不同环境空间中，开放性可能不同。
拓扑连续比可导弱得多；连续函数可以有尖角。
网格中的相邻顶点关系是离散组合信息，不等于已经定义了连续曲面的全部拓扑。

10. 自测与答案

题 1。 $(0,1)\cup(2,3)$ 在 $\mathbb R$ 中是否开？

答案。 是，开集的任意并仍开。

题 2。 $[0,1]$ 在自身作为空间 $X=[0,1]$ 时是否开？

答案。 是。任何拓扑都要求整个空间 $X$ 是开集。这说明开放性依赖环境空间。

题 3。 为什么拓扑不能区分边长为 $1$ 和边长为 $100$ 的两个圆？

答案。 长度不是拓扑数据；连续伸缩能把一个圆变为另一个。

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