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非平凡拓扑怎样在调和 1-形式和矩阵零空间中出现？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

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• 集中复习版：原长篇参考讲义

16. 例子：环面上的调和 1-形式

把平面按周期$(1,0),(0,1)$ 商掉得到平坦环面。两个常数 1-形式

$$\omega_1=dx, \qquad \omega_2=dy$$

都满足

$$d\omega_i=0, \qquad \delta\omega_i=0.$$

但它们不是全局恰当形式：若$dx=df$，则沿$x$ 周期积分应为 0，实际上

$$\oint_a dx=1.$$

它们构成$H^1(T^2)$ 的基。组合

$$\omega=dx+i\,dy=dz$$

是一个全纯 1-形式，这条线索会在黎曼面章节继续发展。

17. Python：验证离散复形

import numpy as np


def verify_complex(B1, B2, atol=1e-12):
    defect = B1 @ B2
    max_abs = 0.0 if defect.nnz == 0 else np.abs(defect.data).max()
    if max_abs > atol:
        raise ValueError(f"boundary of boundary is not zero: {max_abs}")
    return max_abs


def exact_projection(d0, star1, omega, anchor=0):
    # 解 d0^T star1 d0 f = d0^T star1 omega。
    # 删除一个自由度消除常数零空间。
    from scipy.sparse.linalg import spsolve

    L = d0.T @ star1 @ d0
    rhs = d0.T @ star1 @ omega
    keep = np.arange(L.shape[0]) != anchor
    f = np.zeros(L.shape[0])
    f[keep] = spsolve(L[keep][:, keep].tocsr(), rhs[keep])
    return d0 @ f, f

生产实现还需要处理：

• 有边界时的 absolute/relative boundary condition；
• obtuse triangle 导致的负 dual length；
• 多连通域的多个常数零空间；
• 迭代求解器与预条件器；
• 数值秩和拓扑零空间的区分。

读完必须能回答

1. 不看公式，用自己的话回答开头的核心问题。
2. 指出本页最重要公式中每个符号的类型：标量、向量、矩阵、映射还是集合。
3. 找出定理成立所需的假设，并举一个删除某条假设后可能失败的例子。
4. 对最小例子手算一遍；若本页含代码，再比较手算与程序输出。

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