本页只解决一个问题

为什么$f(z)dz$ 比普通函数更适合跨坐标积分，其零点总数受什么控制？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

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4. 全纯 1-形式

在局部复坐标中，全纯 1-形式写成

$$\omega=f_\alpha(z_\alpha)dz_\alpha,$$

其中$f_\alpha$ 全纯。换坐标$z_\beta=z_\beta(z_\alpha)$ 时

$$f_\alpha(z_\alpha) =f_\beta(z_\beta) \frac{dz_\beta}{dz_\alpha}.$$

所以$\omega$ 作为整体不依赖坐标。

全纯 1-形式空间记为$H^0(M,K)$，其中$K$ 是 canonical bundle。对亏格$g$ 的紧致黎曼面：

$$\boxed{\dim_{\mathbb C}H^0(M,K)=g.}$$

4.1 与调和 1-形式的关系

若$\alpha$ 是实调和 1-形式，在二维中定义

$$\omega=\alpha+i\star\alpha.$$

则$\omega$ 是全纯 1-形式（符号依复结构约定可能为$\alpha-i\star\alpha$）。反过来，全纯 1-形式的实部和虚部都是调和 1-形式。

实调和空间维数$2g$，复全纯 1-形式空间维数$g$，两者完全吻合。

5. 零点与 canonical divisor

非零全纯 1-形式的零点总阶数为

$$\sum_p\operatorname{ord}_p(\omega)=2g-2.$$

这个除子称为 canonical divisor$K$，其次数

$$\deg K=2g-2.$$

例子：

• 球面$g=0$：不存在非零全纯 1-形式；
• 环面$g=1$：$dz$ 无零点；
• $g\ge2$：任意全纯 1-形式必须有总阶数$2g-2$ 的零点。

这些零点会成为参数化中的锥奇点和 foliation 的临界点。

读完必须能回答

1. 不看公式，用自己的话回答开头的核心问题。
2. 指出本页最重要公式中每个符号的类型：标量、向量、矩阵、映射还是集合。
3. 找出定理成立所需的假设，并举一个删除某条假设后可能失败的例子。
4. 对最小例子手算一遍；若本页含代码，再比较手算与程序输出。

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