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怎样在黎曼面上记录函数的零点和极点，并把它们变成代数数据？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

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1. 黎曼面上的全纯对象

黎曼面$M$ 带有复坐标图$(U_\alpha,z_\alpha)$，过渡函数全纯。函数$f:M\to\mathbb C$ 全纯，是指每个局部表示

$$f\circ z_\alpha^{-1}$$

在平面复分析意义下全纯。

1.1 紧致性带来的刚性

若$M$ 紧致且连通，任意全纯函数$f:M\to\mathbb C$ 都是常数。

证明：$|f|$ 在紧致空间上取得最大值；最大模原理说明非常数全纯函数不能在内部取最大值，而紧致无边界曲面的每一点都是内部点。

所以要在紧致曲面上得到非平凡对象，必须允许：

• 函数取值到 Riemann 球面，即允许极点（亚纯函数）；
• 研究随坐标变换带权变化的微分形式。

2. 亚纯函数、零点与极点

在点$p$ 的局部坐标$z(p)=0$ 中，亚纯函数有 Laurent 展开

$$f(z)=z^m(a_0+a_1z+\cdots), \qquad a_0\ne0,$$

其中：

• $m>0$：$p$ 是$m$ 阶零点；
• $m=0$：既非零点也非极点；
• $m<0$：$p$ 是$-m$ 阶极点。

记阶数为$\operatorname{ord}_p(f)=m$。

紧致黎曼面上的亚纯函数满足

$$\sum_{p\in M}\operatorname{ord}_p(f)=0,$$

即零点总阶数等于极点总阶数。

3. 除子

除子是点的有限整数线性组合：

$$D=\sum_{p\in M}n_pp.$$

次数：

$$\deg D=\sum_pn_p.$$

亚纯函数的主除子

$$(f)=\sum_p\operatorname{ord}_p(f)p.$$

若$D=\sum n_pp$，定义

$$L(D)=\{f\text{ 亚纯}: (f)+D\ge0\}\cup\{0\}.$$

它表示极点位置和最高阶数由$D$ 限制的函数空间，维数记为

$$\ell(D)=\dim L(D).$$

读完必须能回答

1. 不看公式，用自己的话回答开头的核心问题。
2. 指出本页最重要公式中每个符号的类型：标量、向量、矩阵、映射还是集合。
3. 找出定理成立所需的假设，并举一个删除某条假设后可能失败的例子。
4. 对最小例子手算一遍；若本页含代码，再比较手算与程序输出。

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