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全纯性为何刚性很强，Möbius 映射怎样作用于圆和直线？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

开始前

Cauchy–Riemann 方程带来强约束：

由

u_x=v_y,qquad u_y=-v_x

交叉求导：

u_{xx}+u_{yy}=v_{yx}-v_{xy}=0,

v_{xx}+v_{yy}=0.

所以全纯函数的实部和虚部都是调和函数，并且互为调和共轭。

反过来，在单连通域中，任意调和函数 $u$ 都局部/全局存在调和共轭 $v$ ，使 $u+iv$ 全纯。多连通域的障碍是周期。

非常数全纯函数的 $|f|$ 不在内部取最大值。结合边界条件，许多共形映射具有唯一性。

f(z)=az+b,qquad a\ne0.

平移、旋转和统一缩放。

f(z)=z^\alpha.

辐角变为 $\alpha\arg z$ ，可把夹角为 $\theta$ 的楔形域映到夹角为 $\alpha\theta$ 的楔形域。非整数 $\alpha$ 需要选择分支切线。

w=e^z=e^x(\cos y+i\sin y)

把水平条带映到角域/穿孔平面。 $\log z$ 是其局部逆，把乘法结构转成加法和周期。

扩充复平面 $\widehat{\mathbb C}=\mathbb C\cup\{\infty\}$ 上

f(z)=\frac{az+b}{cz+d}, \qquad ad-bc\ne0.

矩阵

\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}

乘非零标量表示同一变换，因此 Möbius 群是 $PSL(2,\mathbb C)$ （精确群取决于归一化）。

它具有：

单位圆盘的自同构为

f(z)=e^{i\theta}\frac{z-a}{1-\bar a z}, \qquad |a|<1.