一个网格有四层对象

初学者常把它们全部叫“网格”，于是定理条件很快混乱。

同一个组合四边网格可以有很多几何嵌入；同一个几何嵌入也可以在不同度量下被判为均匀或不均匀。

复形与流形条件

三角网格可写成单纯复形

$$K=(V,E,F),\qquad \partial[i,j,k]=[j,k]-[i,k]+[i,j].$$

边界算子满足$\partial\circ\partial=0$。这句抽象公式保证一个三角形边界的端点会成对抵消，也是同调计算、有限体积守恒和离散 Stokes 定理的共同起点。

二维流形网格的局部检查：

• 内部边恰好邻接两个面，边界边邻接一个面；
• 内部顶点的 link 是一个圆，边界顶点的 link 是一条线段；
• 面的定向在公共边上相反。

这些条件不成立时，许多“曲面算法”并没有定义。

Euler 与不可避免的奇异点

闭定向曲面满足

$$\chi=|V|-|E|+|F|=2-2g.$$

对闭四边形网格，$4|F|=2|E|$，所以

$$\sum_{v\in V}(4-\operatorname{val}(v))=4\chi.$$

这不是质量经验，而是组合恒等式。球面$\chi=2$，因此不可能所有顶点都为正则四价；若只允许三价与五价奇点，则三价点必须比五价点多 8 个。

参数化就是映射

曲面网格常由参数映射

$$f:(u,v)\in U\subset\mathbb R^2\longmapsto X(u,v)\in S\subset\mathbb R^3$$

生成。Jacobian$J=[X_u\;X_v]$ 诱导第一基本形式

$$g=J^TJ= \begin{bmatrix} \langle X_u,X_u\rangle & \langle X_u,X_v\rangle\\ \langle X_v,X_u\rangle & \langle X_v,X_v\rangle \end{bmatrix}.$$

如果$g=\lambda I$，局部角度保持；如果$\det J=0$，映射退化；若二维到二维且$\det J<0$，发生翻转。共形只控制奇异值之比，不自动控制面积、边界或全局单射。

尺寸场为何是黎曼度量

各向异性网格用对称正定矩阵场$M(x)$ 定义长度

$$\|e\|_M=\sqrt{e^T M(x)e}.$$

若

$$M=R \begin{bmatrix} h_1^{-2}&0\\0&h_2^{-2} \end{bmatrix}R^T,$$

则$R$ 给期望方向，$h_1,h_2$ 给两个主方向的物理尺寸。所谓“单位网格”不是欧氏空间中所有边长为 1，而是在$M$ 度量中接近 1。

场、积分与可积性

二维交叉场在每点给四个相差$\pi/2$ 的方向，可用

$$q=e^{i4\theta}$$

消除$\theta\sim\theta+k\pi/2$ 的歧义。平滑$q$ 只能给局部方向。要得到参数坐标$(u,v)$，还要存在微分

$$du,\,dv,\qquad d(du)=d(dv)=0,$$

并且闭路积分满足网格的整数平移/旋转兼容条件。局部无旋不等于全局可积；有洞时，闭形式可能不是恰当形式。

需要补的课程

• 组合层：曲面拓扑与计算拓扑
• 映射与度量：曲面微分几何
• 场与积分：微分形式与 Hodge
• 共形结构：共形结构与复分析
• 数值层：实分析、多元微积分与 PDE

自测

1. 为什么“无翻转”是几何层命题，不是组合层命题？
2. $M$ 的特征值很大表示对应方向应该更细还是更粗？
3. 闭 1-形式在有洞曲面上为什么不一定能积分成单值函数？

答案：翻转取决于嵌入 Jacobian；特征值越大，同一物理向量的度量长度越大，因此目标物理尺寸越细；闭形式可能沿非收缩闭路有非零周期。