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分片线性函数的梯度怎样推导出 cotangent 权重？

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5. 分片线性有限元基函数

对每个顶点$i$，定义帽函数$\phi_i$：

$$\phi_i(p_j)=\delta_{ij},$$

并在每个三角形内线性。任意分片线性函数

$$u_h=\sum_i u_i\phi_i.$$

在每个三角形内$\nabla\phi_i$ 为常向量。

5.1 单个三角形上的梯度

在二维有向三角形$(q_i,q_j,q_k)$ 中，令$R_{90}(x,y)=(-y,x)$，有

$$\nabla\phi_i =\frac{R_{90}(q_k-q_j)}{2A},$$

以及循环置换。因为$\phi_i$ 在对边$(j,k)$ 上为 0，梯度垂直于该边；大小为“高度的倒数”。

6. 余切权重的有限元推导

连续 Dirichlet 能量的双线性型为

$$a(u,v)=\int_M\langle\nabla u,\nabla v\rangle dA.$$

离散 stiffness matrix

$$L_{ij}=\int_M\langle\nabla\phi_i,\nabla\phi_j\rangle dA.$$

在包含边$(i,j)$ 的单个三角形$(i,j,k)$ 上：

$$\int_t\langle\nabla\phi_i,\nabla\phi_j\rangle dA =-\frac12\cot\theta_k.$$

6.1 计算过程

由梯度公式：

$$\langle\nabla\phi_i,\nabla\phi_j\rangle =\frac{(q_k-q_j)\cdot(q_i-q_k)}{4A^2}.$$

分子对应角$k$ 两条边的负点积：

$$(q_k-q_j)\cdot(q_i-q_k) =-\|q_j-q_k\|\|q_i-q_k\|\cos\theta_k.$$

又

$$2A=\|q_j-q_k\|\|q_i-q_k\|\sin\theta_k.$$

乘以三角形面积$A$ 后得到$-\frac12\cot\theta_k$。

对于内部边$(i,j)$ 两侧对角$\alpha_{ij},\beta_{ij}$：

$$w_{ij}=\frac12(\cot\alpha_{ij}+\cot\beta_{ij}),$$

$$L_{ij}=-w_{ij},\quad i\ne j,$$

$$L_{ii}=\sum_{j\in N(i)}w_{ij}.$$

读完必须能回答

1. 不看公式，用自己的话回答开头的核心问题。
2. 指出本页最重要公式中每个符号的类型：标量、向量、矩阵、映射还是集合。
3. 找出定理成立所需的假设，并举一个删除某条假设后可能失败的例子。
4. 对最小例子手算一遍；若本页含代码，再比较手算与程序输出。

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