CCG R02：代数曲线、函数域与层上同调
模块定位
核心问题：黎曼面怎样同时成为复分析对象和代数曲线，Riemann-Roch 又为何是维数公式？
本页是“大而全”课程中的模块级教学提纲。每一个表格行都将独立成单概念短课；短课必须包含定义、推导、反例、计算例子和带答案自测，不能只给名词解释。
前置知识
- 模块 07 黎曼面
- 抽象代数基础
- F01 证明语言
逐课目录
| 编号 | 单概念课 | 展开标准 |
|---|---|---|
| R02-01 | 群、环、理想与域 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| R02-02 | 多项式商环 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| R02-03 | 代数曲线 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| R02-04 | 奇点与正规化 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| R02-05 | 函数域 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| R02-06 | 赋值与除子 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| R02-07 | 线丛 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| R02-08 | 局部截面 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| R02-09 | 预层与层 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| R02-10 | Čech 上同调 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| R02-11 | Serre 对偶 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| R02-12 | Riemann-Roch | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| R02-13 | Jacobian 与 Picard 群 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| R02-14 | theta 函数 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
理论主线
- 紧黎曼面与光滑射影代数曲线的对应
- 函数域与曲线的对应
- Riemann-Roch 定理
- Serre 对偶
- Abel-Jacobi 理论
计算与证明双线要求
学习本模块时，每个理论点都必须同时回答：
- 对象的严格定义是什么；
- 最小非平凡例子是什么；
- 定理使用了哪些假设；
- 去掉假设后有什么反例；
- 连续对象怎样离散存储；
- 离散算法怎样验证正确性和收敛性。
模块出口能力
- 从函数零极点构造除子
- 解释线丛截面维数
- 理解 Abel-Jacobi 算法背后的代数结构
状态说明
本模块已经进入课程总图谱并完成逐课拆分。后续内容扩写按编号进行，不会再把整组理论压回一篇长文章。
许可协议：CC BY
作者：Davids
本文链接：https://hustjjd.github.io/ccg/atlas/algebraic-curves-sheaves/
更新于：2026年10月12日