为什么需要覆盖矩阵

“大而全”不能靠增加几个熟悉名词来判断。本页以 David Gu 2022 年公开课的 35 次讲座为主轴，并补充 2020 年课程出现的扩展主题，逐项映射到本 Wiki。

状态含义：

短课：已有可独立阅读页面；
详细提纲：已经建立完整逐课边界，等待按序扩写；
交叉覆盖：内容分布于多个模块，必须按依赖学习。

2022 年 35 次讲座

讲次	官方主题	Wiki 对应模块	当前状态
1	Introduction to Computational Conformal Geometry	全景知识地图	总纲完成
2	Optimal Transportation Theory in AI	最优输运、应用全景	短课 + 提纲
3	Fundamental Group, Covering Space	曲面拓扑	短课
4	Simplicial Homology and Cohomology	曲面拓扑、Hodge	短课
5	Halfedge and Geometric Programming	离散曲面、Python 实验	短课
6	Fixed Point, Poincaré-Hopf, Characteristic Class	微分拓扑进阶	详细提纲
7	de Rham Cohomology, Hodge Decomposition	Hodge 理论	短课
8	Surface Immersion, Regular Homotopy	微分拓扑进阶	详细提纲
9	Geometric Programming: Hodge Decomposition	Hodge 理论	短课
10	Surface Differential Geometry, Moving Frames	曲面几何、移动标架	交叉覆盖
11	Yamabe Equation and Geodesics	几何 PDE、Ricci 流	短课 + 提纲
12	Surface Harmonic Maps	曲面几何、参数化实验	短课
13	Conformal Modules via Geometric Complex Analysis	几何复分析	详细提纲
14	Circle Domain Mapping, Koebe Theorem	圆域与 Koebe	详细提纲
15	Convergence of Koebe Iteration	圆域与 Koebe	详细提纲
16	Surface Uniformization	共形理论、Ricci 流	短课
17	3D Acquisition Pipeline	3D 获取与重建	详细提纲
18	Phase Shifting Structured Light	3D 获取与重建	详细提纲
19	Calibration, Point Cloud Fusion, Reconstruction	3D 获取与重建	详细提纲
20	Persistent Homology	计算拓扑	详细提纲
21	Combinatorial Map	计算拓扑	详细提纲
22	Abelian Differential	黎曼面与 Abel 微分	短课
23	Abel Differential and Mesh Generation	黎曼面、网格生成	交叉覆盖
24	Abel-Jacobi Theory	黎曼面、代数曲线	短课 + 提纲
25	Riemann-Roch Theory	黎曼面、代数曲线	短课 + 提纲
26	Algebraic Function Field	代数曲线与层	详细提纲
27	Discrete Surface Ricci Flow	Ricci 流	短课
28	Generalized Discrete Surface Ricci Flow	Ricci 流	短课
29	Hyperbolic Geometry	Ricci 流与双曲结构、Teichmüller	交叉覆盖
30	Discrete Dynamic Yamabe Flow	Ricci 流、几何 PDE	短课 + 提纲
31	Optimal Transport Duality	最优输运	短课
32	Convex Geometric View	最优输运、Delaunay/Voronoi	交叉覆盖
33	Spherical Optimal Transportation	最优输运进阶	详细提纲
34	Fluid Dynamics View	最优输运进阶、几何 PDE	详细提纲
35	Computational Methods for OT	最优输运、最优输运进阶	短课 + 提纲

2022 年作业覆盖

作业	Wiki 中的实现位置	验收标准
Fundamental group algorithm	计算拓扑	cut graph、生成元、关系与拓扑验证
Homology proof	同调短课	链复形、商空间、Betti 数与 Euler-Poincaré
Hodge decomposition	Hodge 模块	exact/coexact/harmonic 残差和正交性
Koebe iteration	圆域与 Koebe	圆度、归一化、模与迭代收敛
Structured-light stereo	3D 获取与重建	相位、标定、三角测量与误差传播
Handle/tunnel loops	计算拓扑	persistence 配对、环路恢复、噪声稳定性
Abel-Jacobi verification	黎曼面	周期闭合、双线性关系、除子条件
Hyperbolic structure	Ricci 流	曲率残差、基本域配对、双曲长度
Euclidean OT	最优输运	边缘约束、对偶间隙、输运代价

2020 课程中的重要扩展

扩展主题	Wiki 对应模块	说明
CW-cell decomposition	计算拓扑	从单纯复形扩展到更灵活胞腔分解
Spherical harmonic mapping	曲面几何	球面目标上的调和映射与归一化
Delaunay triangulation and Voronoi	Delaunay/Voronoi	凸包 lifting、鲁棒谓词和对偶结构
Triangular mesh generation	网格生成	refinement、尺寸场、质量保证
Teichmüller space	Teichmüller 理论	共形结构空间与极值拟共形映射
Mapping class group	Teichmüller 理论	Dehn twist 与模空间商结构
Algebraic curves	代数曲线与层	黎曼面与代数函数域的对应
Sheaf cohomology	代数曲线与层	线丛截面、Čech 上同调与 Serre 对偶
Quasi-conformal map and Beltrami equation	共形理论、Teichmüller	从局部椭圆畸变到极值映射
3D Voronoi and high-dimensional convex hull	Delaunay/Voronoi	高维计算几何与半离散 OT 的共同结构
Hyperbolic knot complement	Teichmüller 理论	作为三维几何化方向的研究扩展，不列入零基础主干

Wiki 自己增加的必要内容

官方课程面向已有一定数学基础的学习者。为使本 Wiki 真正适合零基础，还额外加入：

数学逻辑与证明语言；
完整线性代数与谱理论；
实分析、弱导数和 Sobolev 空间；
完整复分析主线；
数值稳定性、条件数和迭代求解；
网格质量、翻转与误差验证；
从重建数据到流形网格的清理流程；
算法适用边界和失败案例。

依据

返回计算共形几何全景知识地图。