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组合网格和离散度量怎样分开，三条边怎样恢复一个三角形？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

开始前

一个定向三角网格记为

M=(V,E,F),

其中 $V$ 是顶点， $E$ 是边， $F$ 是有向三角形。几何嵌入给每个顶点位置 $p_i\in\mathbb R^3$ 。

离散内在度量只需边长，并要求每个三角形满足严格三角不等式：

l_{ij}+l_{jk}>l_{ki}.

同一组边长可以有不同三维折叠，但内在角度、面积和离散曲率相同。

每条无向边拆成两个定向半边 $h=(i\to j)$ 与 $h^*=(j\to i)$ 。每个半边至少记录：

origin(h) : 起点
next(h)   : 同一面中的下一条半边
twin(h)   : 反向半边；边界处可为空
face(h)   : 所属面
edge(h)   : 所属无向边

常数时间可完成：

三角形 $(i,j,k)$ 的边长记为

a=l_{jk},\quad b=l_{ki},\quad c=l_{ij}.

余弦定理：

\cos\theta_i=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.

Heron 公式：

s=\frac{a+b+c}{2}, \qquad A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.

也可在局部二维坐标中放置

q_i=(0,0),\quad q_j=(c,0),

q_k=\left( \frac{b^2+c^2-a^2}{2c}, \sqrt{b^2-x_k^2} \right).

所有三角形内的梯度、Jacobian 和能量都可在这个局部坐标中计算。