本课只解决一个问题

为什么“求一个好参数化”经常被改写成“让某个能量最小”？

能量把许多局部要求汇总成一个数，优化则从允许的候选中寻找这个数最小的那个。

1. 从一元二次函数开始

$$E(x)=\frac12ax^2-bx, \qquad a>0.$$

求导：

$$E'(x)=ax-b.$$

令导数为零：

$$x_*=\frac ba.$$

二阶导数$E''(x)=a>0$，所以图像开口向上，$x_*$ 是唯一全局最小值。

2. 多维二次能量

把数$a$ 换成对称矩阵$A$：

$$E(x)=\frac12x^TAx-b^Tx.$$

梯度为

$$\nabla E(x)=Ax-b.$$

因此驻点满足

$$Ax=b.$$

这说明解线性方程和最小化二次能量是同一个问题的两种视角。

3. 正定性保证碗口朝上

若对任意非零$v$ 都有

$$v^TAv>0,$$

则$A$ 正定。沿任意方向离开最小点，能量都会二次增加，所以最小值唯一。

若存在非零$v$ 使$Av=0$，沿这个方向能量可能完全不变。这就是对称性导致的零空间。

4. 一个弹簧例子

两个标量未知量$u_1,u_2$ 之间放一根弹簧：

$$E(u_1,u_2)=\frac12w(u_1-u_2)^2, \qquad w>0.$$

只有差值重要，两者同时加常数$c$ 不改变能量：

$$(u_1+c)-(u_2+c)=u_1-u_2.$$

写成矩阵：

$$E(u)=\frac12u^T \underbrace{w\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}}_L u.$$

$L(1,1)^T=0$，所以常数向量是零空间。这就是最小型图 Laplacian。

5. 网格平滑能量

对图或网格所有边求和：

$$E(u)=\frac12\sum_{(i,j)\in E}w_{ij}(u_i-u_j)^2.$$

若相邻顶点值差异大，能量增加；最小化会让值尽量平滑。对每个内部顶点求偏导：

$$\frac{\partial E}{\partial u_i} =\sum_{j\sim i}w_{ij}(u_i-u_j).$$

令其为零：

$$u_i=\frac{\sum_{j\sim i}w_{ij}u_j}{\sum_{j\sim i}w_{ij}}.$$

所以调和条件表示：每个内部值是邻居的加权平均。

6. 约束优化

若只最小化上面的平滑能量，所有$u_i$ 取同一个常数就得到零能量，几何会塌缩。参数化必须加约束，例如固定边界：

$$u_i=\bar u_i,\qquad i\in\partial M.$$

此时只优化内部未知量。约束决定哪些候选允许参与竞争，能量决定允许候选中谁最好。

7. 梯度下降与直接求解

梯度下降迭代为

$$x^{(k+1)}=x^{(k)}-\eta\nabla E(x^{(k)}).$$

$\eta$ 是步长。对二次能量，若系统规模允许，直接解$Ax=b$ 通常更准确；对非线性能量或巨大模型，迭代法更常见。

算法选择不改变数学目标，只改变寻找最小点的方式。

8. 局部最小与全局最小

• 局部最小：附近候选都不更好；
• 全局最小：整个可行域内没有更好候选。

正定二次能量是凸的，局部最小就是全局最小。含三角形翻转屏障、非线性曲率或神经网络参数的能量可能非凸，初值就会影响结果。

9. 评价一个几何能量要问什么

1. 每一项惩罚的几何现象是什么？
2. 能量是否有平移、旋转或缩放零空间？
3. 约束是否足以去掉零空间？
4. 最小值存在吗，唯一吗？
5. 最低能量是否真的意味着没有翻转？

最后一点尤其重要：LSCM 最小化共形误差，但一般不自动保证所有三角形朝向正确。

10. 常见误区

1. 能量是人为构造的评价规则，不是自然界唯一给定的答案。
2. 梯度为零不总是最小值，也可能是最大值或鞍点。
3. 残差很小只说明方程解得准，不说明能量模型选得对。
4. 加约束会改变可行域，必须解释其几何含义。

11. 自测与答案

题 1。 求$E(x)=x^2-4x$ 的最小点。

答案。$E'(x)=2x-4=0$，所以$x=2$；二阶导数为$2>0$。

题 2。 为什么$\sum_{(i,j)}(u_i-u_j)^2$ 对整体加常数不敏感？

答案。 每个差值中的常数相消。

题 3。 固定网格边界后，内部调和值满足什么局部性质？

答案。 每个内部顶点值等于邻居值的加权平均。

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