本课只解决一个问题

矩阵

A=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}

为什么表示“横向拉伸两倍、纵向不变”？

本课不先背矩阵乘法规则，而是从“基向量被送到哪里”理解矩阵。

1. 什么叫线性

映射 $A$ 是线性的，若对任意向量 $x,y$ 和标量 $\alpha,\beta$ 都有

A(\alpha x+\beta y)=\alpha A(x)+\beta A(y).

它保证直线仍变成直线，原点仍映到原点。旋转、缩放、剪切和镜像都是线性映射；平移不是，因为平移会把原点移走。

2. 两个基向量决定整个二维映射

标准基向量为

e_1=(1,0)^T,\qquad e_2=(0,1)^T.

任意向量都能写成

x=x_1e_1+x_2e_2.

由线性性：

A(x)=x_1A(e_1)+x_2A(e_2).

因此只要知道 $A(e_1)$ 和 $A(e_2)$ ，就知道 $A$ 对所有向量的作用。

3. 矩阵的列就是基向量的去向

把 $A(e_1)$ 、 $A(e_2)$ 依次放成列：

A=\begin{pmatrix}|&|\\A(e_1)&A(e_2)\\|&|\end{pmatrix}.

例如

A=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}.

第一列说明 $e_1\mapsto(2,0)^T$ ，第二列说明 $e_2\mapsto(0,1)^T$ 。所以横向放大两倍，纵向不变。

对 $x=(3,4)^T$ ：

Ax=3\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix} +4\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}.

4. 矩阵乘法为什么是这个顺序

若先做 $B$ ，再做 $A$ ，复合映射是

x\mapsto Bx\mapsto A(Bx)=(AB)x.

所以右边的矩阵先作用。通常 $AB\ne BA$ ，因为“先旋转再拉伸”和“先拉伸再旋转”结果不同。

5. 转置来自内积换边

矩阵 $A$ 的转置 $A^T$ 把行和列交换，并满足

(Ax)\cdot y=x\cdot(A^Ty).

这条关系非常重要：它让我们把作用在一个向量上的矩阵移到内积另一侧。能量求导、最小二乘和离散 Laplacian 都会反复使用它。

6. 行列式测量有向面积缩放

二维矩阵

A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}

的行列式为

\det A=ad-bc.

单位正方形经 $A$ 变换后成为由两列张成的平行四边形，其有向面积就是 $\det A$ 。

$|\det A|>1$ ：面积放大；
$0<|\det A|<1$ ：面积缩小；
$\det A<0$ ：方向翻转；
$\det A=0$ ：二维区域被压扁到直线或点。

在网格参数化中，某个三角形 Jacobian 的行列式为负，通常意味着三角形翻转。

7. 逆矩阵表示撤销变换

若存在 $A^{-1}$ 满足

A^{-1}A=AA^{-1}=I,

则 $A$ 可逆。二维矩阵可逆当且仅当 $\det A\ne0$ 。

对角缩放矩阵

A=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}

的逆为

A^{-1}=\begin{pmatrix}1/2&0\\0&1\end{pmatrix}.

它把横向再缩回一半。

8. 旋转、统一缩放与共形

旋转角 $\theta$ 的矩阵为

R_\theta= \begin{pmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{pmatrix}.

其两列是互相垂直的单位向量，因此

R_\theta^TR_\theta=I.

若再统一缩放 $A=\lambda R_\theta$ ，则

A^TA=\lambda^2I.

这意味着所有方向长度乘同一个数，夹角不变。相反，矩阵 $\operatorname{diag}(2,1)$ 横纵缩放不同，不共形。

9. 手算例子：剪切

S=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}.

列向量给出

e_1\mapsto(1,0),\qquad e_2\mapsto(1,1).

单位正方形变成斜平行四边形。 $\det S=1$ ，面积不变；但原本垂直的两条边内积变为 $1$ ，角度改变。因此“保面积”不等于“保角”。

10. 常见误区

矩阵的行列数决定输入输出维度： $m\times n$ 矩阵把 $\mathbb R^n$ 映到 $\mathbb R^m$ 。
$A^{-1}$ 是逆矩阵， $A^T$ 是转置，含义不同。
$AB$ 的作用顺序是先 $B$ 后 $A$ 。
行列式只描述总体面积缩放，不能单独判断角度畸变。

11. 自测与答案

题 1。 $A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ 把 $e_1$ 送到哪里？

答案。 第一列 $(0,1)^T$ ，即逆时针旋转 $90^\circ$ 。

题 2。 $\det\operatorname{diag}(3,2)$ 是多少，几何意义是什么？

答案。 $6$ ，有向面积放大六倍且不翻转方向。

题 3。 为什么 $\operatorname{diag}(2,2)$ 保角而 $\operatorname{diag}(2,1)$ 不保角？

答案。 前者对所有方向使用同一缩放因子；后者对横纵方向缩放不同，会改变一般夹角。

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