本页只解决一个问题

为什么高斯曲率虽看似外在，却能由内在度量决定？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

开始前

• 模块前置入口：先修页面
• 本页所属模块：曲面微分几何
• 集中复习版：原长篇参考讲义

10. Gauss 绝妙定理

虽然$K$ 由第二基本形式写出，Gauss 的 Theorema Egregium 说明：$K$ 完全由第一基本形式及其一、二阶导数决定。

因此局部等距映射保持高斯曲率。圆柱和平面都满足$K=0$，所以圆柱可等距展开；球面$K=1/R^2>0$，不可能与平面局部等距。

这给地图投影和 UV 展开一个不可绕过的限制：有非零高斯曲率的曲面不能无长度畸变地铺到平面。

读完必须能回答

1. 不看公式，用自己的话回答开头的核心问题。
2. 指出本页最重要公式中每个符号的类型：标量、向量、矩阵、映射还是集合。
3. 找出定理成立所需的假设，并举一个删除某条假设后可能失败的例子。
4. 对最小例子手算一遍；若本页含代码，再比较手算与程序输出。

前后课程

上一课：第二基本形式与曲率 ｜ 下一课：Gauss-Bonnet 定理