CCG F04：复分析完整基础
模块定位
核心问题：全纯性为何如此刚性，并怎样导出共形映射与黎曼面理论？
本页是“大而全”课程中的模块级教学提纲。每一个表格行都将独立成单概念短课；短课必须包含定义、推导、反例、计算例子和带答案自测，不能只给名词解释。
前置知识
- F03 多元微积分
- 模块 00-10 复数
逐课目录
| 编号 | 单概念课 | 展开标准 |
|---|---|---|
| F04-01 | 复极限与复导数 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F04-02 | Cauchy-Riemann 方程 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F04-03 | Wirtinger 导数 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F04-04 | 解析函数与幂级数 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F04-05 | 曲线积分 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F04-06 | Cauchy 积分定理 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F04-07 | Cauchy 积分公式 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F04-08 | 最大模原理 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F04-09 | Liouville 定理 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F04-10 | 零点与辐角原理 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F04-11 | 留数定理 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F04-12 | 亚纯函数 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F04-13 | 解析延拓 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F04-14 | 调和共轭 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F04-15 | Möbius 变换 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
理论主线
- Cauchy-Goursat 定理
- Cauchy 积分公式及导数估计
- 最大模原理与 Schwarz 引理
- 辐角原理与 Rouché 定理
- 留数定理
计算与证明双线要求
学习本模块时，每个理论点都必须同时回答：
- 对象的严格定义是什么；
- 最小非平凡例子是什么；
- 定理使用了哪些假设；
- 去掉假设后有什么反例；
- 连续对象怎样离散存储；
- 离散算法怎样验证正确性和收敛性。
模块出口能力
- 从 Cauchy-Riemann 判断局部保角
- 计算简单留数和绕数
- 解释调和函数为何局部是全纯函数实部
状态说明
本模块已经进入课程总图谱并完成逐课拆分。后续内容扩写按编号进行，不会再把整组理论压回一篇长文章。
许可协议：CC BY
作者：Davids
本文链接：https://hustjjd.github.io/ccg/atlas/complex-analysis/
更新于：2026年10月12日