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分片平坦曲面的曲率为何集中在顶点，角亏怎样满足拓扑恒等式？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

开始前

每个三角形内部是欧氏平面，沿边按等长方式粘合。曲率只集中在顶点，顶点邻域像一个欧氏圆锥。

内部顶点 $i$ 的总角为

\Theta_i=\sum_{t\ni i}\theta_i^t.

离散高斯曲率（角度亏损）为

\boxed{K_i=2\pi-\Theta_i.}

边界顶点的边界曲率为

\boxed{k_i=\pi-\Theta_i.}

这里 $K_i$ 是积分曲率，不是除以面积后的曲率密度。若需近似点值曲率，可除以 barycentric 或 Voronoi dual area。

设网格有边界。将所有顶点曲率求和：

\sum_{i\in V^\circ}(2\pi-\Theta_i) +\sum_{i\in\partial V}(\pi-\Theta_i).

每个三角形内角和为 $\pi$ ，所以

\sum_i\Theta_i=\pi F.

记内部顶点数 $V_i$ 、边界顶点数 $V_b$ ：

\sum K_i=2\pi V_i+\pi V_b-\pi F.

对三角网格，数面-边关联：

3F=2E_i+E_b,

每条边界分支是闭合多边形，所以 $E_b=V_b$ 。代数化简得到

\boxed{ \sum_{i\in V^\circ}K_i+ \sum_{i\in\partial V}k_i =2\pi(V-E+F)=2\pi\chi(M). }

离散 Gauss–Bonnet 对任意三角剖分严格成立，不是收敛意义下的近似。