“质量”至少有五种

因此报告一个平均角度不等于完成评测。至少应同时给最坏值、分位数、无效单元数、几何误差和求解器指标。

三角形质量

三角形边长为$a,b,c$，面积为$A$，一个常用无量纲质量是

$$q_{\triangle}=\frac{4\sqrt3 A}{a^2+b^2+c^2}\in(0,1].$$

等边三角形取 1，退化三角形趋近 0。它适合各向同性欧氏网格，但会错误惩罚按$M$ 度量设计的细长单元；各向异性时应先用$M^{1/2}$ 把单元变换到度量空间再评价。

四面体的 sliver

四面体可以所有边都不极端，却四点几乎共面，体积接近 0。这类 sliver 说明仅看边长不够。可同时检查：

$$q_{\mathrm{vol}}=\frac{6\sqrt2 V}{\sum_{e\in E}\ell_e^3}, \qquad \rho=\frac{R}{\ell_{\min}},$$

其中$V$ 是体积、$R$ 是外接球半径。不同软件的归一化不同，比较前必须核对定义。

四边形与六面体的 Jacobian

参考单元坐标$\xi$ 映到物理单元$x(\xi)$：

$$J(\xi)=\frac{\partial x}{\partial \xi}.$$

• $\det J>0$：局部保定向；
• $\det J=0$：局部压扁；
• $\det J<0$：局部翻转，单元无效。

只在顶点采样$\det J$ 不总能证明高阶单元内部有效。对曲边高阶映射，需要更密采样、Bernstein/Bézier 系数界或专门的严格认证方法。

scaled Jacobian 把三个局部边向量归一化：

$$q_J=\frac{\det[e_1,e_2,e_3]} {\|e_1\|\,\|e_2\|\,\|e_3\|}\in[-1,1].$$

它反映局部夹角和翻转，却不反映绝对尺寸。

误差为何需要 Hessian

线性有限元插值误差与解的二阶变化相关。二维中把 Hessian 对角化：

$$|H(u)|=R\,\operatorname{diag}(|\lambda_1|,|\lambda_2|)R^T.$$

网格应沿$|\lambda_i|$ 大的方向更密。一个典型目标度量形如

$$M(x)=c\,\det(|H|+\varepsilon I)^{-\alpha}(|H|+\varepsilon I),$$

常数$c$ 控制总复杂度，指数$\alpha$ 取决于维数、范数和误差模型。这说明“自适应网格”不是按曲率随意加点，而是把误差模型转成度量。

可运行的最小质量检查

import numpy as np

def triangle_quality(p0, p1, p2):
    p0, p1, p2 = map(np.asarray, (p0, p1, p2))
    a = np.linalg.norm(p1 - p2)
    b = np.linalg.norm(p2 - p0)
    c = np.linalg.norm(p0 - p1)
    e1, e2 = p1 - p0, p2 - p0
    twice_area = abs(e1[0]*e2[1] - e1[1]*e2[0])
    area = 0.5 * twice_area
    denom = a*a + b*b + c*c
    return 0.0 if denom == 0 else 4*np.sqrt(3)*area/denom

def signed_tet_volume(p0, p1, p2, p3):
    A = np.column_stack((np.asarray(p1)-p0,
                         np.asarray(p2)-p0,
                         np.asarray(p3)-p0))
    return np.linalg.det(A) / 6.0

assert np.isclose(triangle_quality([0, 0], [1, 0],
                                   [0.5, np.sqrt(3)/2]), 1.0)
assert signed_tet_volume(np.zeros(3), np.eye(3)[0],
                         np.eye(3)[1], np.eye(3)[2]) > 0

真实项目还要统一顶点顺序、容差和长度单位，并报告完整分布，而非只断言一个单元。

最小评测协议

1. 同一几何、同一目标尺寸/自由度预算；
2. 记录失败模型，不能只统计成功样例；
3. 分开报告生成、优化和求解时间；
4. 报告最坏 1%、中位数和无效单元数；
5. 用至少一个 PDE 做误差—自由度曲线；
6. 保存软件版本、参数、随机种子与硬件。

自测

1. scaled Jacobian 为正是否足以说明网格适合某个 PDE？
2. 为什么最小角对各向异性网格可能误导？
3. 高阶单元为什么不能只检查角点 Jacobian？

答案：不够，它不含尺寸、方向和误差信息；细长可能是度量空间中的等边单元；高阶 Jacobian 是单元内部变化的多项式，角点为正时内部仍可能为负。

文献深读

本章的质量指标、鲁棒谓词与四面体有效性可继续沿单纯形生成、鲁棒性与质量文献谱系阅读；高阶全域 Jacobian 的问题见高阶曲边网格文献谱系。