本课只解决一个问题

为什么二维共形几何总喜欢把点$(x,y)$ 写成$z=x+iy$？

因为复数乘法会自动完成“统一缩放加旋转”，这恰好是局部保角线性映射的结构。

1. 虚数单位不是想象游戏

定义一个新符号$i$，满足

$$i^2=-1.$$

复数写成

$$z=x+iy,qquad x,y\in\mathbb R.$$

$x$ 是实部，$y$ 是虚部。两个复数相等，当且仅当实部和虚部分别相等。

2. 复数就是带乘法结构的平面

把$z=x+iy$ 对应到平面点$(x,y)$：

$$\mathbb C\cong\mathbb R^2.$$

加法就是向量加法：

$$(x+iy)+(u+iv)=(x+u)+i(y+v).$$

真正的新内容是乘法：

$$(x+iy)(u+iv)=(xu-yv)+i(xv+yu).$$

它同时混合了横纵坐标。

3. 乘以$i$ 就是旋转$90^\circ$

$$i(x+iy)=-y+ix.$$

坐标从$(x,y)$ 变成$(-y,x)$，正是逆时针旋转$90^\circ$。

连续乘四次：

$$1\xrightarrow{\times i}i \xrightarrow{\times i}-1 \xrightarrow{\times i}-i \xrightarrow{\times i}1.$$

4. 模长与共轭

复数模长为

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}.$$

共轭为

$$\bar z=x-iy.$$

于是

$$z\bar z=x^2+y^2=|z|^2.$$

若$z\ne0$，倒数为

$$\frac1z=\frac{\bar z}{|z|^2}.$$

5. 极坐标与 Euler 公式

若$z$ 的模长为$r$、辐角为$\theta$，则

$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}.$$

Euler 公式

$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$

把指数与旋转联系起来。

两个复数相乘：

$$(r_1e^{i\theta_1})(r_2e^{i\theta_2}) =r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}.$$

所以模长相乘，角度相加。

6. 复乘法对应怎样的矩阵

固定$a=\alpha+i\beta$，映射$z\mapsto az$ 在实坐标中为

$$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha&-\beta\\ \beta&\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}.$$

两列互相垂直，长度都为$\sqrt{\alpha^2+\beta^2}=|a|$。因此非零复数乘法一定保持角度，只改变统一尺度并旋转。

7. 复可微为什么比实可微严格

复函数$f:\mathbb C\to\mathbb C$ 的导数定义为

$$f'(z)=\lim_{h\to0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h},$$

但$h$ 可以从复平面任意方向趋近零。所有方向必须得到同一结果，因此条件比二维实可微严格得多。

若$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，复可微会导出 Cauchy–Riemann 方程：

$$u_x=v_y, \qquad u_y=-v_x.$$

它恰好使 Jacobian 具有复乘法矩阵的形状。

8. 手算例子：$z\mapsto(1+i)z$

$1+i=\sqrt2e^{i\pi/4}$，所以它把长度放大$\sqrt2$，再逆时针旋转$45^\circ$。

矩阵为

$$\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}.$$

把$1$ 映到$1+i$，把$i$ 映到$-1+i$；两幅向量仍垂直且等长。

9. 常见误区

1. $i$ 不是变量，本课中固定满足$i^2=-1$。
2. $|z|$ 是长度，不是对实部和虚部分别取绝对值。
3. 辐角相差$2\pi k$ 表示同一个方向。
4. 所有复可微函数局部保角还需要导数非零；导数为零处可能退化。

10. 自测与答案

题 1。 计算$(1+i)^2$。

答案。$1+2i+i^2=2i$，也对应模长$\sqrt2$ 平方为$2$、角度$45^\circ$ 加倍为$90^\circ$。

题 2。$z=3-4i$ 的模长是多少？

答案。$5$。

题 3。 乘以$-1$ 在平面中是什么变换？

答案。 旋转$\pi$，长度不变。

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