本课只解决一个问题

为什么一张曲面可以写成

$$\mathbf r(u,v)=(u,v,u^2+v^2)$$

为什么这能表示一张曲面？

答案依赖两个基础概念：函数负责建立对应，坐标负责给点命名。

开始前只需会四则运算。新符号有$f:A\to B$、$f(x)$、$f^{-1}$ 和$g\circ f$。

1. 函数是一条确定的对应规则

写作

$$f:A\to B$$

表示函数$f$ 接受集合$A$ 中的输入，并给出集合$B$ 中的输出。每个允许的输入必须有且只有一个输出。

例如

$$f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2.$$

输入$-2$ 得到$f(-2)=4$。不同输入可以得到相同输出，所以“函数”不等于“一一对应”。

2. 图像不是函数本身

函数$y=f(x)$ 的图像是点集

$$\{(x,f(x)):x\in A\}.$$

函数是规则；图像是把规则画在坐标平面上的结果。改变坐标轴的刻度会改变图像外观，但不会改变抽象规则。

3. 坐标是点的名字

平面中的几何点$p$ 可以用坐标$(x,y)$ 表示。坐标不是点本身，而是相对于所选原点和基方向给出的两个数字。

同一个点在另一套坐标系中可能写成$(x',y')$。这正是微分几何不断讨论“换坐标”的原因：几何结论不能依赖名字怎样选。

4. 多输入、多输出的函数

函数可以接受两个数：

$$h:\mathbb R^2\to\mathbb R,qquad h(u,v)=u^2+v^2.$$

也可以输出三个数：

$$\mathbf r:\mathbb R^2\to\mathbb R^3,qquad \mathbf r(u,v)=(u,v,u^2+v^2).$$

给定$(u,v)=(1,2)$，输出

$$\mathbf r(1,2)=(1,2,5).$$

当$(u,v)$ 在平面区域内移动时，输出点描出一个碗形曲面。

flowchart LR
    A[参数平面中的点 u,v] -->|曲面参数化 r| B[三维空间中的点 x,y,z]

5. 参数化为什么有用

曲面本身弯在三维空间中，不方便直接计算。参数化$\mathbf r$ 给每个局部曲面点安排两个号码$(u,v)$。

于是可以：

• 用$u,v$ 的变化描述曲面上的方向；
• 用导数$\mathbf r_u,\mathbf r_v$ 得到切向量；
• 用内积得到长度和角度；
• 最后把三维网格展开到二维 UV 平面。

这里“UV”并不是一种特殊数学对象，只是把平面坐标命名为$u,v$。

6. 复合函数：分两步走

若

$$f:A\to B,\qquad g:B\to C,$$

则复合函数

$$(g\circ f)(x)=g(f(x))$$

表示先做$f$，再做$g$。

例如$f(x)=x+1$，$g(y)=y^2$：

$$(g\circ f)(2)=g(3)=9.$$

顺序不能随便交换：

$$(f\circ g)(2)=f(4)=5.$$

以后坐标变换、映射复合和链式法则都依赖这个顺序。

7. 逆函数：能否从输出找回输入

若$f$ 一一对应并覆盖目标范围，才有逆函数$f^{-1}$：

$$f^{-1}(f(x))=x.$$

$f(x)=x^2$ 在整个实数轴上没有逆函数，因为$2$ 和$-2$ 都映到$4$。若把定义域限制为$[0,\infty)$，则逆函数是$f^{-1}(y)=\sqrt y$。

曲面的坐标图也要求局部可逆：否则两个不同参数点可能被压到同一个曲面点，坐标就失去辨识能力。

8. 手算例子：圆柱参数化

半径为$1$ 的圆柱可以写成

$$\mathbf r(u,v)=(\cos u,\sin u,v).$$

• $u$ 决定绕圆柱旋转的角度；
• $v$ 决定高度；
• $u=0,v=2$ 对应$(1,0,2)$；
• $u=\pi/2,v=2$ 对应$(0,1,2)$。

$u=0$ 与$u=2\pi$ 得到同一点，所以这张参数化在接缝处不是一一对应。这不是圆柱坏了，而是一张坐标图不能无缝覆盖整个圆柱。

9. 常见误区

1. $f^{-1}$ 表示逆函数，不是$1/f$。
2. $(u,v)$ 是参数域的点，$\mathbf r(u,v)$ 是三维空间中的点。
3. 参数化有奇点或接缝，不等于曲面本身有奇点。
4. 全局不可逆不妨碍局部作为好坐标。

10. 自测与答案

题 1。 若$f(x)=2x+1$，求$f(3)$ 和$f^{-1}(7)$。

答案。$f(3)=7$；由$y=2x+1$ 解得$x=(y-1)/2$，所以$f^{-1}(7)=3$。

题 2。 对$\mathbf r(u,v)=(u,v,u+v)$，求$\mathbf r(2,-1)$。

答案。$(2,-1,1)$。

题 3。 为什么圆柱至少需要处理一条坐标接缝？

答案。 绕一圈后$u$ 相差$2\pi$ 的参数表示同一点，单个平面矩形不能同时做到无接缝且一一对应。

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