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几何量怎样跨映射运输，grad、curl、div 又怎样被统一？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

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4. 拉回：在不同空间之间运输形式

设光滑映射$F:M\to N$。对$N$ 上的$k$-形式$\omega$，拉回$F^*\omega$ 定义为

$$(F^*\omega)_p(X_1,\ldots,X_k) =\omega_{F(p)}(dF_pX_1,\ldots,dF_pX_k).$$

若$N$ 上有 1-形式

$$\omega=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,$$

而$F(u,v)=(x(u,v),y(u,v))$，则

$$F^*\omega =P(F)(x_u du+x_vdv) +Q(F)(y_udu+y_vdv).$$

拉回具有三条关键性质：

$$F^*(\alpha\wedge\beta)=F^*\alpha\wedge F^*\beta,$$

$$(G\circ F)^*=F^*\circ G^*,$$

$$d(F^*\omega)=F^*(d\omega).$$

最后一条说明“先微分再换坐标”与“先换坐标再微分”一致，是坐标无关性的核心。

5. 外微分：统一 grad、curl 与 div

5.1 定义和计算

对函数$f$，外微分就是普通全微分：

$$df=f_u du+f_vdv.$$

对 1-形式$\omega=Pdu+Qdv$，

$$d\omega =dP\wedge du+dQ\wedge dv =(Q_u-P_v)du\wedge dv.$$

对二维 2-形式，外微分为 0，因为不存在非零 3-形式。

5.2 最重要的恒等式

$$d\circ d=0.$$

例如

$$d(df) =d(f_udu+f_vdv) =(f_{vu}-f_{uv})du\wedge dv=0,$$

只要二阶偏导连续。

它统一了：

• 梯度场的旋度为 0；
• 旋度场的散度为 0；
• 单纯链中边界的边界为空。

连续微分形式中的$d^2=0$ 与离散边界矩阵中的$B_1B_2=0$ 是同一代数结构的两个版本。

读完必须能回答

1. 不看公式，用自己的话回答开头的核心问题。
2. 指出本页最重要公式中每个符号的类型：标量、向量、矩阵、映射还是集合。
3. 找出定理成立所需的假设，并举一个删除某条假设后可能失败的例子。
4. 对最小例子手算一遍；若本页含代码，再比较手算与程序输出。

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