这张图解决什么问题

计算共形几何不是“复分析 + 网格参数化”两门课的拼接。完整体系横跨：

• 数学逻辑、线性代数、实分析、复分析和数值优化；
• 代数拓扑、微分拓扑、黎曼几何和几何偏微分方程；
• 黎曼面、Teichmüller 理论、代数曲线和双曲几何；
• 计算拓扑、离散微分几何、计算几何和网格生成；
• 三维获取、几何处理、最优输运、医学成像和几何深度学习。

主干课程的 10 个模块负责第一次系统学习，本页则把知识边界扩展到 28 个模块。已写成的 84 个短课统一放在主干课程；新增 18 个模块统一放在扩展课程，先建立详细逐课提纲，再按依赖顺序扩写。围绕真实问题的历史、论文和复现实验放在研究专题；旧版长文只保留在参考讲义，不再与正式课程混排。

五层知识结构

flowchart TB
    A[第一层 前置数学<br/>证明 线性代数 分析 复分析 数值方法]
    B[第二层 连续几何<br/>拓扑 微分拓扑 Hodge 曲面几何 几何 PDE]
    C[第三层 共形与黎曼面<br/>模 圆域 一致化 Abel Teichmuller 代数曲线]
    D[第四层 离散与计算<br/>DEC FEM Ricci Delaunay 参数化 网格生成]
    E[第五层 数据与应用<br/>3D 重建 OT 配准 医学成像 几何学习]
    A --> B
    B --> C
    B --> D
    C --> D
    D --> E
    C --> E

这不是一条只能从上到下走的直线，而是带依赖关系的图。初学者走主干；研究型读者沿分支补齐定理。

第一层：前置数学

第一层的目标不是把所有数学先学完，而是让后续每个公式都有可退回的解释页面。

第二层：拓扑、微分结构与曲面几何

第三层：共形结构、黎曼面与模空间

第四层：离散理论、算法与网格生成

第五层：最优输运、学习与应用

四条推荐路线

路线 A：完全零基础

00 → F01 → F02 → F03 → F04 → 01 → 02 → 03 → 04 → 05 → 06

这条路线最慢，但不会突然出现无法解释的向量空间、极限或弱形式。

路线 B：网格参数化与网格生成

00 → 01 → F02 → F05 → 03 → 04 → 05 → 06 → D03 → D04

重点是拓扑预检、稀疏线性系统、翻转控制、方向场和质量保证。

完成 D03/D04 后，进入网格生成研究专题，继续学习历史谱系、传统算法、四边形/六面体理论、大连理工研究脉络与 2026 年前沿；准备读原始论文时，从分方向文献地图进入。

路线 C：黎曼面与理论研究

F01 → F03 → F04 → 01 → T02 → 02 → 03 → G03 → 04
→ C05 → C06 → 07 → R02 → C07 → 08

这条路线覆盖从 de Rham/Hodge 到 Abel-Jacobi、Riemann-Roch 和 Teichmüller 空间的理论链。

路线 D：几何深度学习与生成模型

F02 → F03 → F05 → 01 → 03 → 05 → 09 → O02 → A01

重点不是把共形几何当作网络装饰，而是理解内在度量、谱算子、输运距离与等变性的数学来源。

十组核心理论问题

完整学习后，应能回答以下问题，而不只是记住定理名称：

1. 局部坐标为何能定义与坐标无关的切向量和微分形式？
2. 基本群、同调、de Rham 上同调和 Hodge 调和代表分别保留什么信息？
3. Gauss 曲率为何既可由嵌入弯曲定义，又是内在量？
4. Gauss-Bonnet、Poincaré-Hopf 和 Euler 类为何是同一个局部到整体现象的不同版本？
5. 全纯、调和、共形和拟共形在二维中怎样互相联系，又在哪些条件下不能互推？
6. 一致化定理为何把所有单连通黎曼面归到球面、平面和双曲圆盘？
7. 周期矩阵、Jacobian variety、除子和 Riemann-Roch 怎样控制高亏格曲面的全局函数？
8. 连续能量、弱形式、有限元矩阵和离散几何算法之间怎样逐步对应？
9. 离散 Ricci 流、Koebe 迭代和调和映射各自改变什么，保证什么，不保证什么？
10. 最优输运、共形标准化和几何深度学习为何不能互相替代，却可以组成同一管线？

算法全景

教学笔记的统一完成标准

“收录了一个术语”不算完成。一篇正式短课必须同时具备：

1. 前置知识：读者缺什么应能退回准确页面；
2. 几何直觉：先回答对象解决了什么问题；
3. 严格定义：写清定义域、值域、正则性和方向约定；
4. 逐步推导：等号之间不跳关键步骤；
5. 最小例子：至少一个可以手算到底的例子；
6. 反例与边界：说明假设为何不能删；
7. 离散对应：连续对象落在顶点、边、面还是矩阵；
8. 代码实验：输入、输出、断言和失败模式完整；
9. 验证方法：残差、不变量、畸变和收敛分开检查；
10. 带答案自测：不能只列开放问题。

与 David Gu 公开课程的对应

详细逐讲核对见 David Gu 课程覆盖矩阵。课程范围同时参考：

• David Gu 2022 Computational Conformal Geometry
• David Gu 2020 Computational Conformal Geometry
• Tutorials and Lecture Notes

第一次学习请进入主干课程；本页只负责“大而全”的知识边界。课程与研究专题的统一入口是计算共形几何课程导航。