本页只解决一个问题

不同点的切向量怎样比较，最短路径方程从哪里来？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

开始前

普通导数不能直接比较不同点的切向量，因为它们属于不同切空间。联络 $\nabla$ 定义“沿向量场求导”。Levi-Civita 联络由两个条件唯一决定：

在坐标基中

\nabla_{\partial_i}\partial_j =\Gamma^k_{ij}\partial_k,

Christoffel 符号为

\boxed{ \Gamma^k_{ij} =\frac12g^{k\ell} (\partial_i g_{j\ell} +\partial_j g_{i\ell} -\partial_\ell g_{ij}) }.

它们不是张量：可以在一点通过合适坐标让 $\Gamma^k_{ij}=0$ ，但曲率未必为 0。

曲线 $\gamma(t)$ 是测地线，当切向量沿自身平行：

\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=0.

坐标形式为

\boxed{ \ddot u^k+\Gamma^k_{ij}\dot u^i\dot u^j=0. }

这是一个二阶常微分方程。给定起点和初速度，局部存在唯一测地线。

曲线能量

E(\gamma)=\frac12\int_a^b g_{ij}(u)\dot u^i\dot u^jdt.

Lagrangian 为

L(u,\dot u)=\frac12g_{ij}\dot u^i\dot u^j.

Euler–Lagrange 方程

\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot u^k} -\frac{\partial L}{\partial u^k}=0

展开并乘以 $g^{k\ell}$ ，得到测地线方程。

能量临界点是常速参数化的测地线。局部最短测地线一定满足方程，但较长测地线越过共轭点后可能不再最短。

球面测地线是大圆。小纬线虽然看起来很“圆”，但曲线加速度含有切向分量，因此不是测地线（赤道除外）。