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除子何时来自亚纯函数，可解空间维数怎样由拓扑估计？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

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9. Jacobian variety 与 Abel–Jacobi 映射

定义格

$$\Lambda=\mathbb Z^g+\tau\mathbb Z^g.$$

复环面

$$\operatorname{Jac}(M)=\mathbb C^g/\Lambda$$

称为$M$ 的 Jacobian variety。

固定基点$p_0$，Abel–Jacobi 映射

$$\mathcal A:M\to\operatorname{Jac}(M),$$

$$\mathcal A(p)= \left( \int_{p_0}^{p}\omega_1,ldots, \int_{p_0}^{p}\omega_g \right)\mod\Lambda.$$

路径改变会增加某个周期，因此模掉$\Lambda$ 后定义良好。

9.1 环面情形

$g=1$ 时，$M\cong\mathbb C/(\mathbb Z+\tau\mathbb Z)$，Abel–Jacobi 映射本身给出环面的平坦周期坐标。

$g>1$ 时，曲面嵌入$g$ 维复环面，而不是直接等同于 Jacobian。

10. Abel 定理

次数为 0 的除子

$$D=\sum_i n_ip_i,qquad\sum_i n_i=0$$

是某个亚纯函数的主除子，当且仅当它的 Abel–Jacobi 像为 0：

$$\sum_i n_i\mathcal A(p_i)=0 \quad\text{in }\operatorname{Jac}(M).$$

这把“是否存在具有指定零极点的亚纯函数”转化为周期积分条件。

11. Riemann–Roch 定理

设$K$ 为 canonical divisor。Riemann–Roch 定理：

$$\boxed{ \ell(D)-\ell(K-D)=\deg D-g+1. }$$

11.1 如何读这个公式

• $\ell(D)$：允许$D$ 所规定极点的亚纯函数自由度；
• $\ell(K-D)$：对偶障碍空间；
• $\deg D-g+1$：拓扑给出的预期维数。

若$\deg D>2g-2$，则$\ell(K-D)=0$，所以

$$\ell(D)=\deg D-g+1.$$

11.2 三个检验

1. $D=0$：$\ell(0)=1$（常数函数），于是$1-\ell(K)=1-g$，得到$\ell(K)=g$。
2. 球面$g=0$：次数$d\ge0$ 的除子给$\ell(D)=d+1$，对应有理函数多项式自由度。
3. canonical divisor：$\deg K=2g-2$。

读完必须能回答

1. 不看公式，用自己的话回答开头的核心问题。
2. 指出本页最重要公式中每个符号的类型：标量、向量、矩阵、映射还是集合。
3. 找出定理成立所需的假设，并举一个删除某条假设后可能失败的例子。
4. 对最小例子手算一遍；若本页含代码，再比较手算与程序输出。

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