CCG F05：数值线性代数与优化
模块定位
核心问题：理论方程变成浮点程序后，稳定性、误差和收敛性怎样保证？
本页是“大而全”课程中的模块级教学提纲。每一个表格行都将独立成单概念短课；短课必须包含定义、推导、反例、计算例子和带答案自测，不能只给名词解释。
前置知识
- F02 线性代数
- F03 分析
- 模块 00-11 优化
逐课目录
| 编号 | 单概念课 | 展开标准 |
|---|---|---|
| F05-01 | 浮点误差 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F05-02 | 条件数 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F05-03 | 前向与后向误差 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F05-04 | 稀疏直接法 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F05-05 | 共轭梯度 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F05-06 | 预条件 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F05-07 | 最小二乘 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F05-08 | 梯度下降 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F05-09 | Newton 与拟 Newton | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F05-10 | 线搜索与信赖域 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F05-11 | 约束优化与 KKT | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F05-12 | 凸分析 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F05-13 | 离散误差与收敛阶 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
理论主线
- Banach 不动点迭代
- SPD 系统上的共轭梯度
- Newton 局部二次收敛
- KKT 必要条件
- 凸函数局部最优即全局最优
计算与证明双线要求
学习本模块时，每个理论点都必须同时回答：
- 对象的严格定义是什么；
- 最小非平凡例子是什么；
- 定理使用了哪些假设；
- 去掉假设后有什么反例；
- 连续对象怎样离散存储；
- 离散算法怎样验证正确性和收敛性。
模块出口能力
- 为稀疏系统选择求解器
- 区分模型误差、离散误差和舍入误差
- 设计残差、能量与几何不变量三层验证
状态说明
本模块已经进入课程总图谱并完成逐课拆分。后续内容扩写按编号进行，不会再把整组理论压回一篇长文章。
许可协议：CC BY
作者：Davids
本文链接：https://hustjjd.github.io/ccg/atlas/numerical-methods/
更新于：2026年10月12日