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Euler 示性数怎样决定标准几何，双曲圆盘如何测距？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

开始前

闭 genus-0 曲面目标常取常正曲率。得到球面度量后，用发展映射或离散嵌入恢复 $S^2$ 上坐标，再用 Möbius 归一化消除自由度。

环面目标曲率全为 0，得到平坦度量。沿同调基切开并发展到平面，获得平行四边形周期域。

带边界圆盘常将内部曲率设为 0，并将边界曲率集中或均匀分布，使其展开为平面多边形。

高亏格闭曲面目标为负曲率。离散双曲三角形边长和角度使用双曲余弦定理：

\cosh c =\cosh a\cosh b -\sinh a\sinh b\cos C.

最终发展到 Poincaré 圆盘或上半平面，并记录 Fuchsian 群边配对。

Poincaré 圆盘度量：

ds^2=\frac{4(dx^2+dy^2)}{(1-x^2-y^2)^2}.

距离：

d_{\mathbb H}(z,w) =2\operatorname{artanh} \left| \frac{z-w}{1-\bar zw} \right|.

圆盘自同构

z\mapsto e^{i\theta}\frac{z-a}{1-\bar az}

既是 Möbius 变换，也是双曲等距。

双曲三角形面积：

A=\pi-(\alpha+\beta+\gamma)

（曲率 $-1$ ）。角和小于 $\pi$ ，角亏损直接等于面积。