01 主干课程
笔记列表 95
本页只解决一个问题 怎样在黎曼面上记录函数的零点和极点，并把它们变成代数数据？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面…
本页只解决一个问题 为什么 f(z)dzf(z)dzf(z)dz 比普通函数更适合跨坐标积分，其零点总数受什么控制？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论…
本页只解决一个问题 沿基本闭路积分得到什么，周期矩阵为何满足对称与正定约束？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 …
本页只解决一个问题 除子何时来自亚纯函数，可解空间维数怎样由拓扑估计？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所…
本页只解决一个问题 极点和周期怎样分类微分，轨线结构怎样生成参数方向？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所…
本页只解决一个问题 怎样从同调基、调和代表和 Hodge 星计算离散周期坐标？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面…
学习方式 本模块已把长篇参考讲义拆成 6 个单概念页面。按顺序阅读；每页完成“读完必须能回答”后再继续。 课程目录 课次 页面 本课唯一主问题 08-01 连续 Ricci 流与 Yamabe 方程 二维曲率在共形缩放下怎样变…
本页只解决一个问题 二维曲率在共形缩放下怎样变化，流如何把曲率推向目标？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页…
本页只解决一个问题 为什么曲率导数像 Laplacian，Newton 法在最小化什么？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口…
本页只解决一个问题 怎样保持三角形合法并跨越三角剖分变化？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模块：离散…
本页只解决一个问题 Euler 示性数怎样决定标准几何，双曲圆盘如何测距？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本…
本页只解决一个问题 离散曲率流代码应监控哪些不变量，它与调和参数化有何本质差别？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页…
本页只解决一个问题 circle packing 和 vertex scaling 怎样把曲率处方变成顶点变量演化？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论…
本页只解决一个问题 从搬运映射到联合分布，松弛为什么让问题变成凸优化？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所…
本页只解决一个问题 输运矩阵的行列约束是什么，势函数怎样给出对偶问题？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所…
本页只解决一个问题 概率分布之间的几何距离怎样区别于逐点差异？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模块：…
本页只解决一个问题 二次代价下最优映射为何是凸函数梯度，质量守恒怎样成为非线性 PDE？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口…
本页只解决一个问题 连续质量到离散点的输运怎样转化为加权 Voronoi 单元体积匹配？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口…
本页只解决一个问题 熵项怎样换来快速矩阵缩放，又引入哪些偏差和稳定性问题？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本…
本页只解决一个问题 测地代价、参数域计算和面积密度修正怎样配合？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模块…
本页只解决一个问题 谱卷积、内在消息传递和输运损失分别使用了哪些几何结构？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本…
学习方式 本模块已把长篇参考讲义拆成 8 个单概念页面。按顺序阅读；每页完成“读完必须能回答”后再继续。 课程目录 课次 页面 本课唯一主问题 09-01 Monge 问题与 Kantorovich 松弛 从搬运映射到联合分布…
本页只解决一个问题 保角怎样分别写成矩阵、Jacobian 和度量拉回条件？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 …
本页只解决一个问题 复可微为何强迫局部映射成为旋转加统一缩放？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模块：…
本页只解决一个问题 怎样把非共形部分单独量化，Beltrami 系数表示什么椭圆畸变？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：…
本页只解决一个问题 全纯性为何刚性很强，Möbius 映射怎样作用于圆和直线？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面…
本页只解决一个问题 局部共形坐标如何拼成全局结构，标准域由什么决定？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属…
本页只解决一个问题 球面如何显式、保角地对应扩充复平面？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模块：共形结…
本页只解决一个问题 双曲距离和欧氏距离为何不同，圆盘边界为何无限远？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属…
本页只解决一个问题 调和映射何时共形，算法中怎样测 Beltrami 与奇异值畸变？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先…
本页只解决一个问题 组合网格和离散度量怎样分开，三条边怎样恢复一个三角形？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本…
本页只解决一个问题 分片平坦曲面的曲率为何集中在顶点，角亏怎样满足拓扑恒等式？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面…
本页只解决一个问题 分片线性函数的梯度怎样推导出 cotangent 权重？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 …
本页只解决一个问题 连续积分怎样组装成稀疏矩阵，边界条件怎样进入线性系统？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本…
本页只解决一个问题 正权凸组合为什么能给无翻转嵌入，假设缺一不可在哪里？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页…
本页只解决一个问题 怎样在每个面上测角度、面积和 Cauchy-Riemann 残差？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：…
本页只解决一个问题 最小二乘共形映射怎样形成矩阵，为什么低能量仍可能翻转？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本…
本页只解决一个问题 离散共形等价怎样直接改变边长，曲率如何响应共形因子？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页…
本页只解决一个问题 如何分别验证残差、翻转、角度畸变和面积畸变？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模块…
本页只解决一个问题 面对不同拓扑、边界与质量目标时，怎样选择算法？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模…
学习方式 本模块已把长篇参考讲义拆成 6 个单概念页面。按顺序阅读；每页完成“读完必须能回答”后再继续。 课程目录 课次 页面 本课唯一主问题 06-01 实验准备、网格构造与拓扑预检 怎样构造可靠输入，并在求解前拒绝错误拓扑…
学习方式 本模块已把长篇参考讲义拆成 10 个单概念页面。按顺序阅读；每页完成“读完必须能回答”后再继续。 课程目录 课次 页面 本课唯一主问题 05-01 三角网格与边长度量 组合网格和离散度量怎样分开，三条边怎样恢复一个三…
本页只解决一个问题 怎样设置圆周边界、组装 Laplacian 并求内部 UV？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页…
本页只解决一个问题 怎样从单三角形 Cauchy-Riemann 残差组装全局 LSCM？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入…
本页只解决一个问题 怎样逐面计算奇异值、翻转和 Beltrami 畸变并正确可视化？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先…
本页只解决一个问题 怎样区分求解残差、几何质量和程序正确性？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模块：P…
本页只解决一个问题 教学代码迁移到真实网格时，哪些数值和数据问题必须处理？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本…
本页只解决一个问题 怎样构造可靠输入，并在求解前拒绝错误拓扑？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模块：…
学习方式 本模块已把长篇参考讲义拆成 6 个单概念页面。按顺序阅读；每页完成“读完必须能回答”后再继续。 课程目录 课次 页面 本课唯一主问题 07-01 全纯对象、零极点与除子 怎样在黎曼面上记录函数的零点和极点，并把它们变…
本页只解决一个问题 怎样把曲面上的瞬时运动定义为与坐标无关的向量？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模…
本页只解决一个问题 为什么测量向量的对象与向量本身不同？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模块：微分形…
本页只解决一个问题 有向长度、面积和体积如何用同一种代数表达？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模块：…
本页只解决一个问题 几何量怎样跨映射运输，grad、curl、div 又怎样被统一？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先…
本页只解决一个问题 局部微分信息怎样控制边界积分，洞又怎样阻止势函数存在？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本…
本页只解决一个问题 度量如何把微分形式变成可计算的内积与 Laplacian？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面…
本页只解决一个问题 一个向量场为什么能拆成梯度、旋转和调和三部分？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模…
本页只解决一个问题 连续微分形式怎样变成网格上的稀疏矩阵？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模块：微分…
学习方式 本模块已把长篇参考讲义拆成 9 个单概念页面。按顺序阅读；每页完成“读完必须能回答”后再继续。 课程目录 课次 页面 本课唯一主问题 03-01 曲面片与坐标变换 参数化何时真正描述一块光滑曲面，换坐标时哪些量会改变…
本页只解决一个问题 曲面在外部空间怎样弯曲，主曲率、高斯曲率和平均曲率如何联系？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页…
本页只解决一个问题 为什么高斯曲率虽看似外在，却能由内在度量决定？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模…
本页只解决一个问题 局部曲率总量为什么等于全局拓扑数？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模块：曲面微分…
本页只解决一个问题 平面 Laplacian 如何推广到曲面，能量极小为何给出调和方程？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口…
本页只解决一个问题 二维中能量、面积、共形映射和曲率方程为何相遇？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模…
本页只解决一个问题 连续曲面公式怎样落到三角网格和数值代码？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模块：曲…
本页只解决一个问题 曲面怎样只靠内部数据测长度、角度和面积？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模块：曲…
学习方式 本模块已把长篇参考讲义拆成 8 个单概念页面。按顺序阅读；每页完成“读完必须能回答”后再继续。 课程目录 课次 页面 本课唯一主问题 04-01 保角的线性、微分与度量条件 保角怎样分别写成矩阵、Jacobian 和…
本页只解决一个问题 非平凡拓扑怎样在调和 1-形式和矩阵零空间中出现？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所…
本页只解决一个问题 参数化何时真正描述一块光滑曲面，换坐标时哪些量会改变？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本…
本页只解决一个问题 不同点的切向量怎样比较，最短路径方程从哪里来？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模…
这部分是什么 这里是第一次学习计算共形几何的正式路线，共 10 个模块、84 篇已有正文的短课。编号 00–09 只在这一层使用，表示推荐学习顺序。 顺序 模块 短课数 学完应达到的能力 00 数学语言 11 读懂函数、向量、…
模块问题 在谈长度、角度和曲率之前，先回答：输入究竟是哪一种曲面？有几块、几条边界、几个洞？能否直接映到圆盘？ 本模块把原先一篇 600 多行的拓扑章拆成 11 课。每课只增加一个概念层级。 前置检查 至少先完成： 函数与坐标； 线性方程…
本课只解决一个问题 如果不允许测量长度和角度，怎样仍然精确描述“哪些点彼此邻近”？ 拓扑的答案是：指定哪些集合算开集。开始前只需要 函数与坐标 中集合和原像的概念。 1. 集合语言 若集合 AAA 的每个元素也属于 XXX，记作 A⊆X.A…
本课只解决一个问题 咖啡杯和圆环为什么常被说成“拓扑相同”，而圆盘和圆环不同？ 必须把“可以连续变形”改写成不会误判的定义。 1. 双射还不够 两个无限点集之间常能建立奇怪的一一对应，但这种对应可能把相邻点送得很远。拓扑等价需要同时满足： …
本课只解决一个问题 球面明明弯曲，为什么还可以用两个坐标做微积分？ 关键不是整个球面像平面，而是每个足够小的邻域像平面。 1. 局部欧氏 二维拓扑流形 MMM 的核心条件是：每个点 p∈Mp\in Mp∈M 都有一个邻域 UUU，与平面中的…
本课只解决一个问题 数学上怎样精确表达“把两条边粘起来”？ 答案是先声明哪些点视为同一点，再把等价的点合并。这个过程叫取商。 1. 等价关系 集合 XXX 上的关系 ∼\sim∼ 若满足： 自反：x∼xx\sim xx∼x； 对称：x∼y…
本课只解决一个问题 一条闭路能否在曲面内连续缩成一点？如何把所有闭路的缠绕方式组织成代数对象？ 1. 路径 空间 XXX 中从 ppp 到 qqq 的路径是连续映射 γ:[0,1]→X,γ(0)=p, γ(1)=q.\gamma:[0,1]…
本课只解决一个问题 怎样区分曲面的内部点、边界点和一致的“正面方向”？ 这决定边界环提取、法向、积分符号和三角形翻转判断。 1. 带边界流形的局部模型 内部点的邻域像平面开圆盘。边界点的邻域像上半平面 H2={(x,y)∈R2:y≥0}\m…
本课只解决一个问题 如何把圆上反复绕圈的运动，变成实数轴上的普通直线运动？ 覆盖空间让复杂空间在局部保持原样，同时把全局绕圈信息展开。 1. 最重要的例子 定义 p:R→S1,p(t)=e2πit.p:\mathbb R\to S^1, \…
本课只解决一个问题 只数网格中的顶点、边和面，为什么就能得到一个不随重新剖分改变的拓扑数？ 1. 单纯形 低维单纯形是： 000-单纯形：顶点； 111-单纯形：边； 222-单纯形：三角形； 333-单纯形：四面体。 三角网格是许多 …
本课只解决一个问题 怎样把“顶点、边、面怎样连接”写成矩阵，并让“边界的边界为零”成为可以验证的代数恒等式？ 1. 为什么需要形式线性组合 只列出单条边无法表达一圈边界。我们允许把有向单纯形按系数相加。 kkk-链写作 c=∑iaiσi,c…
本课只解决一个问题 “闭合”为什么还不等于“围成一块面”？同调怎样把两者的差解释为洞？ 本课必须先掌握 边界算子。 1. 循环 kkk-链 z∈Ckz\in C_kz∈Ck 若没有边界： ∂kz=0,\partial_k z=0, ∂k…
本课只解决一个问题 给定三角形面数组 faces，怎样检查边界、非流形边、连通性和 Euler 示性数？ 代码只实现已经学过的定义。若某一行看不懂，应回到对应理论短课，而不是背代码。 1. 输入约定 import numpy as np f…
学习方式 本模块已把长篇参考讲义拆成 9 个单概念页面。按顺序阅读；每页完成“读完必须能回答”后再继续。 课程目录 课次 页面 本课唯一主问题 02-01 切空间 怎样把曲面上的瞬时运动定义为与坐标无关的向量？ 02-02…
这个模块为何必须先学 旧版课程从流形、基本群和 Hodge 分解开始，对没有数学背景的读者跨度过大。本模块不假定线性代数、微积分或复分析基础，只假定会四则运算。 每课只回答一个问题，建议每天最多学习两课。不要只读；必须完成每页末尾的三道自测…
本课只解决一个问题 看到下面这行时，怎样知道每个符号在说什么？ E(u)=12∑(i,j)∈Ewij∥ui−uj∥2.E(u)=\frac12\sum_{(i,j)\in E}w_{ij}\|u_i-u_j\|^2. E(u)=21(i,…
本课只解决一个问题 为什么一张曲面可以写成 r(u,v)=(u,v,u2+v2)\mathbf r(u,v)=(u,v,u^2+v^2) r(u,v)=(u,v,u2+v2) 为什么这能表示一张曲面？ 答案依赖两个基础概念：函数负责建立对应…
本课只解决一个问题 怎样用数字描述“转了多少”，并从三条边算出三角形的角？ 共形映射的核心是局部保持角度。若角度和三角函数没有真正掌握，后面的“保角”只会变成一句口号。 1. 角度测量的是旋转量 一整圈可以分成 360∘360^\circ3…
本课只解决一个问题 怎样只用数字计算方向、长度、夹角、投影和三角形面积？ 这些量以后会分别变成切向量、度量、共形条件和网格面积。 1. 点和向量不是同一种对象 点表示位置，向量表示位移。若 p=(1,2),q=(4,6),p=(1,2),\…
本课只解决一个问题 矩阵 A=(2001)A=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix} A=(2001) 为什么表示“横向拉伸两倍、纵向不变”？ 本课不先背矩阵乘法规则，而是从“基向量被送…
本课只解决一个问题 求解 Ax=bAx=b Ax=b 究竟是在找什么？为什么网格参数化必须固定边界或锚点后才能求解？ 1. 方程组是多个条件的交集 考虑 {x+y=3,x−y=1.\begin{cases} x+y=3,\\ x-y=1. …
本课只解决一个问题 “局部保角”中的“局部”怎样变成可计算的数学条件？ 答案是导数：把一个弯曲、非线性的函数在很小邻域内近似成线性函数。 1. 平均变化率 函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 从 xxx 走到 x+hx+hx+h，输…
本课只解决一个问题 一个二维到二维的变形，在某一点附近究竟怎样拉伸和旋转？ 一元函数用一个导数描述局部变化；多元函数需要偏导、梯度和 Jacobian 矩阵。 1. 偏导：一次只改变一个输入 设 f(x,y)=x2+3xy+y2.f(x,y…
本课只解决一个问题 为什么能量写成积分，而离散算法又把积分变回三角形求和？ 积分的核心不是“找原函数”，而是把无数个微小贡献累加起来。 1. 先从有限求和开始 一条长度为 111 的区间分成 nnn 小段，每段宽度 Δx=1/n\Delta…
本课只解决一个问题 为什么二维共形几何总喜欢把点 (x,y)(x,y)(x,y) 写成 z=x+iyz=x+iyz=x+iy？ 因为复数乘法会自动完成“统一缩放加旋转”，这恰好是局部保角线性映射的结构。 1. 虚数单位不是想象游戏 定义一个…
本课只解决一个问题 为什么“求一个好参数化”经常被改写成“让某个能量最小”？ 能量把许多局部要求汇总成一个数，优化则从允许的候选中寻找这个数最小的那个。 1. 从一元二次函数开始 E(x)=12ax2−bx,a>0.E(x)=\fra…