本页只解决一个问题

极点和周期怎样分类微分，轨线结构怎样生成参数方向？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

开始前

• 模块前置入口：先修页面
• 本页所属模块：黎曼面与 Abel 微分
• 集中复习版：原长篇参考讲义

12. Abel 微分的三类

经典上按奇点分类：

1. 第一类：无极点，即全纯 1-形式；
2. 第二类：有极点但所有留数为 0；
3. 第三类：有简单极点，留数非零但总和为 0。

它们分别适合：

• 构造周期平坦参数；
• 构造带高阶奇点的几何场；
• 构造源汇型参数、圆域与边界映射。

13. 二次微分与 foliation

全纯二次微分局部写成

$$q=\varphi(z)dz^2.$$

它定义两族方向场：

• 水平轨线：$q(\dot\gamma^2)>0$；
• 垂直轨线：$q(\dot\gamma^2)<0$。

局部自然坐标

$$w=\int\sqrt{q}$$

中，$q=dw^2$，水平/垂直轨线变成水平/垂直直线。

若$q$ 在$p$ 有$m$ 阶零点，则有$m+2$ 条水平临界轨线从$p$ 发出，对应锥角

$$(m+2)\pi.$$

临界轨线图可把曲面分割成圆柱或多边形区域。这是 quad mesh、各向异性网格生成和 surface foliation 的理论来源。

读完必须能回答

1. 不看公式，用自己的话回答开头的核心问题。
2. 指出本页最重要公式中每个符号的类型：标量、向量、矩阵、映射还是集合。
3. 找出定理成立所需的假设，并举一个删除某条假设后可能失败的例子。
4. 对最小例子手算一遍；若本页含代码，再比较手算与程序输出。

前后课程

上一课：Jacobian variety、Abel 定理与 Riemann-Roch ｜ 下一课：离散全纯微分与网格生成