统一的数学框架

几乎所有物理仿真都在解同一类方程——常微分方程（ODE）：

\frac{d}{dt}\begin{pmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{v} \\ \mathbf{M}^{-1}\mathbf{f}(\mathbf{x}, \mathbf{v}, t) \end{pmatrix}

符号	含义
$\mathbf{x}$	位置（所有粒子的）
$\mathbf{v}$	速度
$\mathbf{M}$	质量矩阵
$\mathbf{f}$	合力（重力、弹力、压力、阻尼…）

不同的仿真对象，差别只在 $\mathbf{f}$ 和 $\mathbf{M}$ 的形式：

对象	$\mathbf{f}$ 的来源	章节
质点弹簧	弹簧力 + 阻尼	质点-弹簧系统
刚体	外力 + 约束（角动量、转动惯量）	刚体
柔体（有限元）	弹性内力（应力-应变）	柔体
流体	压力 + 粘性 + 重力（Navier-Stokes）	流体

时间积分：仿真的核心

连续方程无法解析求解（除非极简单），所以离散化成一步步推进。

\mathbf{x}^{[1]} = \mathbf{x}^{[0]} + \Delta t \, \mathbf{v}^{[0]}, \quad \mathbf{v}^{[1]} = \mathbf{v}^{[0]} + \Delta t \, \mathbf{M}^{-1}\mathbf{f}^{[0]}

这是显式欧拉（Forward Euler）。

三种基本积分器

方法	更新公式	稳定性	精度
显式欧拉	$\mathbf{x}^{[1]} = \mathbf{x}^{[0]} + \Delta t\,\mathbf{v}^{[0]}$ $\mathbf{v}^{[1]} = \mathbf{v}^{[0]} + \Delta t\,\mathbf{M}^{-1}\mathbf{f}^{[0]}$	差（会爆炸）	一阶
隐式欧拉	$\mathbf{x}^{[1]} = \mathbf{x}^{[0]} + \Delta t\,\mathbf{v}^{[1]}$ $\mathbf{v}^{[1]} = \mathbf{v}^{[0]} + \Delta t\,\mathbf{M}^{-1}\mathbf{f}^{[1]}$	好（无条件稳定）	一阶
半隐式（Symplectic）欧拉	$\mathbf{v}^{[1]} = \mathbf{v}^{[0]} + \Delta t\,\mathbf{M}^{-1}\mathbf{f}^{[0]}$ $\mathbf{x}^{[1]} = \mathbf{x}^{[0]} + \Delta t\,\mathbf{v}^{[1]}$	好（能量有界）	一阶

半隐式欧拉是实时仿真的默认选择——只是把"先更新位置"改成"先更新速度"，稳定性天差地别。

为什么显式欧拉会爆炸：

弹簧: f = -k(x - L)
显式欧拉: v += dt * (-k/m)(x - L)
每次迭代把能量放大一点
→ 刚度 k 大或 dt 大时，指数发散

稳定性条件（显式方法）：

\Delta t \le \frac{2}{\omega_{\max}} \quad \text{或} \quad \Delta t \le c\sqrt{\frac{m}{k}}

刚度越大（ $k$ 大），允许的时间步越小。这就是"硬弹簧难仿真"的原因。

隐式方法为什么稳定

\mathbf{v}^{[1]} = \mathbf{v}^{[0]} + \Delta t\,\mathbf{M}^{-1}\mathbf{f}(\mathbf{x}^{[1]})

注意： $\mathbf{f}$ 在未知的新位置求值 → 变成方程而不是显式更新。

一阶近似（泰勒展开）：

\mathbf{f}^{[1]} \approx \mathbf{f}^{[0]} + \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}} \Delta \mathbf{x}

代入得到线性系统：

\left(\frac{1}{\Delta t^2}\mathbf{M} - \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}}\right)\Delta \mathbf{x} = \frac{1}{\Delta t}\mathbf{M}\mathbf{v}^{[0]} + \mathbf{f}^{[0]}

代价：每步要解一个线性系统（矩阵可能很大）。收益：无条件稳定——不管 $\Delta t$ 多大都不炸。

这是实时物理引擎的核心权衡：显式快但不稳，隐式稳但慢。

更高阶的方法

方法	精度	代价
欧拉	一阶	1 次力计算
中点法 / RK2	二阶	2 次
RK4	四阶	4 次
Verlet	二阶	1 次（特殊结构）

Verlet 积分（分子动力学常用，游戏中也常见）：

\mathbf{x}^{[1]} = 2\mathbf{x}^{[0]} - \mathbf{x}^{[-1]} + \Delta t^2 \mathbf{M}^{-1}\mathbf{f}^{[0]}

不显式存速度（从位置差推出）。辛积分，长期能量守恒好。

仿真的三阶段循环

每个时间步：

1. 计算力 f(x, v, t)
     重力、弹簧力、压力、碰撞力、用户施加的力...

2. 时间积分
     v ← v + dt · M⁻¹ f
     x ← x + dt · v

3. 处理约束 / 碰撞
     不可穿透、关节、摩擦、边界...

第 3 步常常是最难的——它决定了仿真是否"看起来对"。

约束处理

三类方法

方法	思路	优点	缺点
惩罚力（Penalty）	违反约束就加一个强力拉回	简单	刚度大 → 不稳定，需要小时间步
投影（Projection）	先自由更新，再把位置投影回约束流形	稳定	需要求解，可能引入能量
拉格朗日乘子	约束作为额外的力（ $\mathbf{f} + \mathbf{J}^T\lambda$ ）	精确	要解 KKT 系统

Position Based Dynamics（PBD） 是现代实时物理的主流：直接用投影法，不用力。

PBD 的一步:
  1. 预测位置: p ← x + dt·v
  2. 迭代若干次: 对每个约束 C(p) = 0，直接修改 p 使其满足
  3. 更新速度: v ← (p - x) / dt
  4. x ← p

PBD 的优点：

无条件稳定（因为不经过力，没有刚度问题）
直观（约束就是"把点挪到哪里"）
可控（迭代次数 = 质量/性能旋钮）

PBD 的缺点：

不是物理正确的（刚度依赖迭代次数和时间步）
收敛慢（软约束需要很多次迭代）

XPBD（Extended PBD，2016）修正了刚度依赖时间步的问题，是现代引擎（UE 的 Chaos、NVIDIA 的 Flex）的基础。

本目录

章节	内容
质点-弹簧系统	最基础的弹性模型，布料/头发的起点
刚体	位置 + 旋转、转动惯量、碰撞响应
柔体	有限元、超弹性材料、共旋转线性化
流体	SPH、网格法、Navier-Stokes
碰撞检测	宽相/窄相、GJK、空间划分

实时仿真的工程约束

预算: 16 ms 里要完成物理 + 渲染 + 游戏逻辑
物理通常只能占 2~5 ms

固定时间步: 通常用 1/60 s，且要"追赶"（accumulator）
  while (accumulator >= dt) { step(dt); accumulator -= dt; }
  渲染时用插值避免抖动

子步（substepping）: 快速运动的物体需要更小的步
  UE5 Chaos: 每帧 1~8 个子步

固定时间步是必须的：用可变的 $\Delta t$ 会让仿真行为不确定（同样的输入得到不同结果），对游戏（需要确定性）和网络同步是灾难。

参考

GAMES103：基于物理的计算机动画入门（刘利刚）
《Physically Based Modeling》（Pixar 课程笔记，经典入门）
Müller et al., Position Based Dynamics（2007）
Macklin et al., XPBD（2016）
《Computer Animation: Algorithms and Techniques》（Parent）