本课只解决一个问题

“闭合”为什么还不等于“围成一块面”？同调怎样把两者的差解释为洞？

本课必须先掌握边界算子。

1. 循环

$k$ -链 $z\in C_k$ 若没有边界：

\partial_k z=0,

则称为 $k$ -循环。所有循环组成

Z_k=\ker\partial_k.

一维循环就是端点完全抵消的边链，例如一个闭合三角形轮廓。

若 $k$ -链 $b$ 是某个更高维链的边界：

b=\partial_{k+1}c,

则称 $b$ 为边界。所有边界组成

B_k=\operatorname{im}\partial_{k+1}.

因为 $\partial_k\partial_{k+1}=0$ ，每个边界自动是循环：

B_k\subseteq Z_k.

在填满的三角形中，三条边构成循环，也是该三角形的边界，所以它不表示洞。

若只保留三条边、删除中间面，同一闭路仍是循环，但复形中不存在二维链可把它填满，所以它不是边界，代表一个一维洞。

这正是关键差别：

\text{洞}=\text{闭合的东西}-\text{能够被更高维东西填满的闭合东西}.

定义第 $k$ 个同调群

H_k=Z_k/B_k =\ker\partial_k/\operatorname{im}\partial_{k+1}.

商的含义是：若两个循环之差是边界，就把它们视为同一同调类。

在一维中，两条绕同一个孔、但形状略有不同的闭路，其间若围出一条带状区域，则它们的差是这条区域的边界，因此同调等价。

在实数系数下，定义

\beta_k=\dim H_k.

几何解释：

典型结果：

空间	$\beta_0$	$\beta_1$	$\beta_2$
圆盘	1	0	0
圆	1	1	0
球面	1	0	1
环面	1	2	1

设 $n_k=\dim C_k$ ，边界矩阵为 $B_k$ 。由秩—零度定理：

\dim\ker B_k=n_k-\operatorname{rank}B_k.

又因 $\operatorname{im}B_{k+1}\subseteq\ker B_k$ ：

\boxed{ \beta_k=n_k-operatorname{rank}B_k-operatorname{rank}B_{k+1} }.

对二维网格：

\begin{aligned} \beta_0&=V-operatorname{rank}B_1,\\ \beta_1&=E-operatorname{rank}B_1-operatorname{rank}B_2,\\ \beta_2&=F-operatorname{rank}B_2. \end{aligned}

把三式交替相加：

\begin{aligned} \beta_0-\beta_1+\beta_2 &=(V-r_1)-(E-r_1-r_2)+(F-r_2)\\ &=V-E+F. \end{aligned}

所以

\chi=\beta_0-\beta_1+\beta_2.

矩阵秩项恰好抵消。这解释了组合计数为何能得到拓扑不变量。

基本群记录闭路拼接，通常非交换；一维同调只记录交换化后的独立循环。

直觉上，基本群还区分“先绕 $a$ 再绕 $b$ ”与“先绕 $b$ 再绕 $a$ ”；同调只记录总共绕了多少。

同调损失部分信息，却能直接通过稀疏矩阵计算，因此特别适合网格算法。

题 1。 填满的单三角形的三边循环为何代表零同调类？

答案。 它正是该二维三角形的边界，属于 $B_1$ ，在商空间 $Z_1/B_1$ 中等同于零。

题 2。 环面为何有 $\beta_1=2$ ？

答案。 有两条独立的一维循环方向，经向和纬向，它们都不能由环面上的二维区域单独填满。

题 3。 球面的 Betti 数怎样给出 $\chi=2$ ？

答案。 $1-0+1=2$ 。