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平面 Laplacian 如何推广到曲面，能量极小为何给出调和方程？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

开始前

对函数 $f$ ，梯度由

(\nabla_gf)^i=g^{ij}\partial_jf

给出。向量场 $X=X^i\partial_i$ 的散度为

\operatorname{div}_gX =\frac1{\sqrt{|g|}} \partial_i(\sqrt{|g|}X^i).

因此

\boxed{ \Delta_gf =\operatorname{div}_g\nabla_gf =\frac1{\sqrt{|g|}} \partial_i\left(\sqrt{|g|}g^{ij}\partial_jf\right). }

球面度量 $g=R^2\operatorname{diag}(1,\sin^2\theta)$ ，所以

\Delta_{S^2}f =\frac1{R^2\sin\theta} \frac{\partial}{\partial\theta} \left(\sin\theta\frac{\partial f}{\partial\theta}\right) +\frac1{R^2\sin^2\theta} \frac{\partial^2f}{\partial\phi^2}.

球谐函数正是这个算子的特征函数。

函数 $f:M\to\mathbb R$ 的 Dirichlet 能量：

E(f)=\frac12\int_M\|\nabla f\|_g^2dA_g.

取变分 $f_\varepsilon=f+\varepsilon\eta$ ，且 $\eta|_{\partial M}=0$ ：

\begin{aligned} \left.\frac{d}{d\varepsilon}\right|_0E(f_\varepsilon) &=\int_M\langle\nabla f,\nabla\eta\rangle dA\\ &=-\int_M\eta\Delta_gf,dA. \end{aligned}

对任意 $\eta$ 都为 0，当且仅当

\boxed{\Delta_gf=0.}

这就是 Euler–Lagrange 方程。调和函数不是“看起来平滑”的函数，而是固定边界条件下 Dirichlet 能量的临界点；在合适条件下还是唯一极小值。

非恒定调和函数不能在内部取得严格最大值或最小值。因此边界值落在区间 $[a,b]$ 内，内部也在 $[a,b]$ 内。

离散参数化中的无翻转保证与正权重离散最大值原理密切相关。