自动关联目录：曲面微分几何与调和映射

本章目标

本章对应 David Gu 课程中的曲面微分几何、Yamabe 方程、测地线与曲面调和映射。目标不是背诵$E,F,G$，而是建立一条可推导的链：

$$\text{参数化} \to \text{度量} \to \text{联络} \to \text{曲率与测地线} \to \text{能量变分} \to \text{调和映射}.$$

1. 正则曲面片

设$D\subset\mathbb R^2$ 为开集，映射

$$r:D\to\mathbb R^3, \qquad r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$$

称为正则曲面片，如果：

1. $r$ 光滑；
2. $r_u,r_v$ 线性无关，即$r_u\times r_v\ne0$；
3. $r$ 局部是一一对应的参数化。

$r_u,r_v$ 张成切平面

$$T_pr(M)=\operatorname{span}\{r_u,r_v\}.$$

单位法向量为

$$n=\frac{r_u\times r_v}{\|r_u\times r_v\|}.$$

若$r_u\times r_v=0$，坐标在该点退化。球坐标在极点退化并不说明球面不光滑，只说明这一张坐标图不能覆盖极点。

2. 参数变换与张量

设新坐标$(\bar u,\bar v)$ 通过

$$(u,v)=\sigma(\bar u,\bar v)$$

给出，且$\det J_\sigma\ne0$。新参数化为

$$\bar r(\bar u,\bar v)=r(\sigma(\bar u,\bar v)).$$

链式法则给出

$$\begin{bmatrix}\bar r_{\bar u}&\bar r_{\bar v}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}r_u&r_v\end{bmatrix}J_\sigma.$$

坐标分量会变化，但几何量若按正确张量变换律变化，就描述同一个内在对象。

3. 第一基本形式：曲面上的尺子

3.1 从微小位移推导度量

曲面上的微小位移为

$$dr=r_u,du+r_v,dv.$$

平方长度：

$$\begin{aligned} ds^2 &=\langle dr,dr\rangle\\ &=E,du^2+2F,du,dv+G,dv^2, \end{aligned}$$

其中

$$E=\langle r_u,r_u\rangle, \quad F=\langle r_u,r_v\rangle, \quad G=\langle r_v,r_v\rangle.$$

矩阵形式：

$$g=(g_{ij})= \begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix} =J_r^TJ_r.$$

正则性保证$g$ 正定：$E>0$ 且$EG-F^2>0$。

3.2 长度、角度和面积

曲线$\gamma(t)=r(u(t),v(t))$ 的速度平方：

$$\|\dot\gamma\|^2 =g_{ij}\dot u^i\dot u^j.$$

长度为

$$L(\gamma)=\int_a^b\sqrt{g_{ij}\dot u^i\dot u^j},dt.$$

两个切向量$X=X^i\partial_i,Y=Y^j\partial_j$ 的夹角：

$$\cos\theta =\frac{g_{ij}X^iY^j} {\sqrt{g_{ij}X^iX^j}\sqrt{g_{ij}Y^iY^j}}.$$

面积元：

$$dA=\sqrt{\det g},du,dv =\sqrt{EG-F^2},du,dv.$$

3.3 第一基本形式为何内在

换坐标时

$$\bar g=J_\sigma^TgJ_\sigma.$$

同时$d\bar u$ 的分量按逆方式变化，最终$ds^2$ 不变。刚体变换$r\mapsto Rr+t$ 也不改变$J_r^TJ_r$。因此长度、角度、面积只由曲面内在度量决定。

4. 三个标准例子

4.1 平面

$$r(u,v)=(u,v,0), \qquad g=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}.$$

4.2 半径$R$ 的圆柱

$$r(u,v)=(R\cos u,R\sin u,v),$$

$$g=\begin{bmatrix}R^2&0\\0&1\end{bmatrix}.$$

令$x=Ru,y=v$，则$ds^2=dx^2+dy^2$。所以圆柱沿母线切开后与平面等距。

4.3 半径$R$ 的球面

$$r(\theta,\phi) =(R\sin\theta\cos\phi, R\sin\theta\sin\phi, R\cos\theta),$$

$$g=R^2 \begin{bmatrix} 1&0\\0&\sin^2\theta \end{bmatrix}.$$

面积元

$$dA=R^2\sin\theta,d\theta,d\phi.$$

在极点$\sin\theta=0$ 是坐标奇异。需要另一张图覆盖。

5. Levi-Civita 联络

普通导数不能直接比较不同点的切向量，因为它们属于不同切空间。联络$\nabla$ 定义“沿向量场求导”。Levi-Civita 联络由两个条件唯一决定：

1. 与度量相容：$\nabla g=0$；
2. 无挠：$\nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y]$。

在坐标基中

$$\nabla_{\partial_i}\partial_j =\Gamma^k_{ij}\partial_k,$$

Christoffel 符号为

$$\boxed{ \Gamma^k_{ij} =\frac12g^{k\ell} (\partial_i g_{j\ell} +\partial_j g_{i\ell} -\partial_\ell g_{ij}) }.$$

它们不是张量：可以在一点通过合适坐标让$\Gamma^k_{ij}=0$，但曲率未必为 0。

6. 测地线

6.1 作为“加速度为零”的曲线

曲线$\gamma(t)$ 是测地线，当切向量沿自身平行：

$$\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=0.$$

坐标形式为

$$\boxed{ \ddot u^k+\Gamma^k_{ij}\dot u^i\dot u^j=0. }$$

这是一个二阶常微分方程。给定起点和初速度，局部存在唯一测地线。

6.2 从长度/能量变分推导

曲线能量

$$E(\gamma)=\frac12\int_a^b g_{ij}(u)\dot u^i\dot u^jdt.$$

Lagrangian 为

$$L(u,\dot u)=\frac12g_{ij}\dot u^i\dot u^j.$$

Euler–Lagrange 方程

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot u^k} -\frac{\partial L}{\partial u^k}=0$$

展开并乘以$g^{k\ell}$，得到测地线方程。

能量临界点是常速参数化的测地线。局部最短测地线一定满足方程，但较长测地线越过共轭点后可能不再最短。

6.3 球面上的测地线

球面测地线是大圆。小纬线虽然看起来很“圆”，但曲线加速度含有切向分量，因此不是测地线（赤道除外）。

7. 第二基本形式与外在弯曲

第一基本形式描述内在测量；第二基本形式描述曲面在$\mathbb R^3$ 中如何弯曲。

$$II=L,du^2+2M,du,dv+N,dv^2,$$

其中

$$L=\langle r_{uu},n\rangle, \quad M=\langle r_{uv},n\rangle, \quad N=\langle r_{vv},n\rangle.$$

由$\langle r_u,n\rangle=0$ 求导也得到

$$L=-\langle r_u,n_u\rangle, \quad M=-\langle r_u,n_v\rangle, \quad N=-\langle r_v,n_v\rangle.$$

8. Gauss 映射与 Weingarten 算子

Gauss 映射把每个点送到其单位法向量：

$$G:M\to S^2, \qquad G(p)=n(p).$$

形算子（Weingarten map）定义为

$$S=-dG:T_pM\to T_pM.$$

它关于度量自伴：

$$\langle S(X),Y\rangle =\langle X,S(Y)\rangle.$$

因此有实特征值和正交特征向量：

$$S(e_1)=k_1e_1, \qquad S(e_2)=k_2e_2.$$

$k_1,k_2$ 是主曲率，$e_1,e_2$ 是主方向。

8.1 法曲率与 Euler 公式

单位方向

$$v=\cos\theta,e_1+\sin\theta,e_2$$

上的法曲率为

$$k_n(v)=\langle S(v),v\rangle =k_1\cos^2\theta+k_2\sin^2\theta.$$

所以主曲率是法曲率的极值。

9. 高斯曲率与平均曲率

$$K=k_1k_2=\det S =\frac{LN-M^2}{EG-F^2},$$

$$H=\frac{k_1+k_2}{2} =\frac{EN-2FM+GL}{2(EG-F^2)}.$$

局部二阶近似在主方向坐标中为

$$z\approx\frac12(k_1x^2+k_2y^2).$$

$K>0$ 为椭圆点，$K<0$ 为双曲点，$K=0$ 为抛物/平坦情形。

10. Gauss 绝妙定理

虽然$K$ 由第二基本形式写出，Gauss 的 Theorema Egregium 说明：$K$ 完全由第一基本形式及其一、二阶导数决定。

因此局部等距映射保持高斯曲率。圆柱和平面都满足$K=0$，所以圆柱可等距展开；球面$K=1/R^2>0$，不可能与平面局部等距。

这给地图投影和 UV 展开一个不可绕过的限制：有非零高斯曲率的曲面不能无长度畸变地铺到平面。

11. Gauss–Bonnet 定理

对紧致定向曲面$M$，有边界版本为

$$\boxed{ \int_MK,dA +\int_{\partial M}k_g,ds +\sum_i\theta_i =2\pi\chi(M) }$$

其中$k_g$ 是边界测地曲率，$\theta_i$ 是分段光滑边界的外转角。

闭曲面没有边界：

$$\int_MK,dA=2\pi\chi(M).$$

于是：

• 球面：$\chi=2$，总曲率$4\pi$；
• 环面：$\chi=0$，总曲率 0；
• 亏格$g>1$：总曲率$4\pi(1-g)<0$。

Gauss–Bonnet 把局部微分几何量$K$ 与全局拓扑量$\chi$ 精确联系起来，是计算共形几何的核心支柱。

12. Laplace–Beltrami 算子

对函数$f$，梯度由

$$(\nabla_gf)^i=g^{ij}\partial_jf$$

给出。向量场$X=X^i\partial_i$ 的散度为

$$\operatorname{div}_gX =\frac1{\sqrt{|g|}} \partial_i(\sqrt{|g|}X^i).$$

因此

$$\boxed{ \Delta_gf =\operatorname{div}_g\nabla_gf =\frac1{\sqrt{|g|}} \partial_i\left(\sqrt{|g|}g^{ij}\partial_jf\right). }$$

12.1 球面 Laplacian

球面度量$g=R^2\operatorname{diag}(1,\sin^2\theta)$，所以

$$\Delta_{S^2}f =\frac1{R^2\sin\theta} \frac{\partial}{\partial\theta} \left(\sin\theta\frac{\partial f}{\partial\theta}\right) +\frac1{R^2\sin^2\theta} \frac{\partial^2f}{\partial\phi^2}.$$

球谐函数正是这个算子的特征函数。

13. Dirichlet 能量与调和函数

函数$f:M\to\mathbb R$ 的 Dirichlet 能量：

$$E(f)=\frac12\int_M\|\nabla f\|_g^2dA_g.$$

取变分$f_\varepsilon=f+\varepsilon\eta$，且$\eta|_{\partial M}=0$：

$$\begin{aligned} \left.\frac{d}{d\varepsilon}\right|_0E(f_\varepsilon) &=\int_M\langle\nabla f,\nabla\eta\rangle dA\\ &=-\int_M\eta\Delta_gf,dA. \end{aligned}$$

对任意$\eta$ 都为 0，当且仅当

$$\boxed{\Delta_gf=0.}$$

这就是 Euler–Lagrange 方程。调和函数不是“看起来平滑”的函数，而是固定边界条件下 Dirichlet 能量的临界点；在合适条件下还是唯一极小值。

13.1 最大值原理

非恒定调和函数不能在内部取得严格最大值或最小值。因此边界值落在区间$[a,b]$ 内，内部也在$[a,b]$ 内。

离散参数化中的无翻转保证与正权重离散最大值原理密切相关。

14. 曲面之间的调和映射

设$(M,g)$、$(N,h)$ 为黎曼流形，映射$f:M\to N$ 的能量密度

$$e(f)=\frac12\operatorname{trace}_g(f^*h),$$

总能量

$$E(f)=\frac12\int_M|df|^2dA_g.$$

在局部坐标中

$$E(f)=\frac12\int_M g^{ij}(x)h_{\alpha\beta}(f(x)) \frac{\partial f^\alpha}{\partial x^i} \frac{\partial f^\beta}{\partial x^j} \sqrt{|g|},dx.$$

一阶变分得到张力场

$$\tau(f)^\alpha =\Delta_gf^\alpha +g^{ij}\Gamma^\alpha_{\beta\gamma}(f) \partial_if^\beta\partial_jf^\gamma.$$

调和映射满足

$$\boxed{\tau(f)=0.}$$

当目标是欧氏空间时 Christoffel 项消失，各坐标分量都是调和函数。

15. 二维中调和与共形的关系

对曲面间映射$f:M\to N$，在局部正交坐标中设 Jacobian 奇异值为$\sigma_1,\sigma_2$。能量密度和面积 Jacobian 分别为

$$e(f)=\frac12(\sigma_1^2+\sigma_2^2),$$

$$J(f)=\sigma_1\sigma_2.$$

由

$$\frac12(\sigma_1^2+\sigma_2^2)-\sigma_1\sigma_2 =\frac12(\sigma_1-\sigma_2)^2\ge0,$$

得到

$$E(f)\ge \operatorname{Area}(f(M))$$

（计重数与定向）。等号当且仅当$\sigma_1=\sigma_2$，即$f$ 共形。

所以在固定同伦类中，如果调和能量极小值同时达到面积下界，该映射就是共形映射。这是调和映射算法求共形参数化的理论原因。

16. 等温坐标与曲率方程

二维曲面局部存在坐标使

$$g=e^{2u}(dx^2+dy^2).$$

这种坐标称为等温坐标。此时

$$dA_g=e^{2u}dxdy,$$

$$\Delta_gf=e^{-2u}\Delta_0f,$$

$$K_g=-e^{-2u}\Delta_0u.$$

若在原度量$g$ 上做共形变化

$$\tilde g=e^{2u}g,$$

曲率变换公式为

$$\boxed{ K_{\tilde g}=e^{-2u}(K_g-\Delta_gu). }$$

给定目标曲率$\bar K$，需要求解二维 Yamabe 方程

$$-\Delta_gu+K_g=\bar K e^{2u}.$$

离散 Ricci flow 正是在三角网格上求解这一类曲率处方问题。

17. 离散对应

内部顶点的离散曲率：

$$K_i=2\pi-\sum_{t\ni i}\theta_i^t.$$

边界顶点：

$$K_i=\pi-\sum_{t\ni i}\theta_i^t.$$

求和立即得到离散 Gauss–Bonnet：

$$\sum_iK_i=2\pi\chi(M).$$

18. Python：由参数化计算基本形式和曲率

下面用 SymPy 验证球面的$g,K,H$。

import sympy as sp

theta, phi, R = sp.symbols("theta phi R", positive=True)
r = sp.Matrix([
    R * sp.sin(theta) * sp.cos(phi),
    R * sp.sin(theta) * sp.sin(phi),
    R * sp.cos(theta),
])

ru = r.diff(theta)
rv = r.diff(phi)
n = sp.simplify(ru.cross(rv) / sp.sqrt(ru.cross(rv).dot(ru.cross(rv))))

I = sp.Matrix([
    [sp.simplify(ru.dot(ru)), sp.simplify(ru.dot(rv))],
    [sp.simplify(rv.dot(ru)), sp.simplify(rv.dot(rv))],
])
II = sp.Matrix([
    [sp.simplify(r.diff(theta, 2).dot(n)),
     sp.simplify(r.diff(theta, phi).dot(n))],
    [sp.simplify(r.diff(phi, theta).dot(n)),
     sp.simplify(r.diff(phi, 2).dot(n))],
])

shape = sp.simplify(I.inv() * II)
K = sp.simplify(shape.det())
H = sp.simplify(sp.trace(shape) / 2)

print("I =", I)
print("II =", II)
print("K =", K)   # 取决于法向约定，但应为 1/R**2
print("H =", H)   # 符号取决于法向，绝对值为 1/R

19. 习题

计算题

1. 推导圆柱的$I,II,k_1,k_2,K,H$。
2. 对图面$r(x,y)=(x,y,f(x,y))$ 推导第一基本形式。
3. 计算球面的非零 Christoffel 符号。
4. 把$f(\theta,\phi)=\cos\theta$ 代入球面 Laplacian，求其特征值。
5. 验证立体投影后的球面度量是欧氏度量的共形缩放。

证明题

1. 证明形算子自伴，并推出主方向正交。
2. 从曲线能量的 Euler–Lagrange 方程推导测地线方程。
3. 用分部积分推导调和函数的 Euler–Lagrange 方程。
4. 证明二维映射能量-面积不等式，并刻画等号条件。
5. 从三角形内角和证明离散 Gauss–Bonnet。

实现题

1. 对 OBJ 网格计算每个顶点的角度亏损，并核对总和$2\pi\chi$。
2. 组装质量矩阵$M$ 和 stiffness matrix$L$，求广义特征问题$L\phi=\lambda M\phi$。
3. 固定圆盘边界，求两个调和坐标$u,v$，输出残差$\|Lu\|,\|Lv\|$。
4. 比较均匀权重和余切权重得到的参数化角度误差。

20. 本章结论

本章最重要的结构是：

$$\boxed{ \text{度量决定联络，联络决定曲率； 能量的一阶变分决定调和方程。} }$$

而二维还有额外的特殊性：共形变换只改变一个标量因子，曲率变化化为标量 PDE；能量与面积之差正好测量非共形程度。

下一篇将从复分析、拉回度量和一致化定理三个角度系统研究共形结构：共形结构、一致化与复分析。