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曲面怎样只靠内部数据测长度、角度和面积？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

开始前

曲面上的微小位移为

dr=r_u,du+r_v,dv.

平方长度：

\begin{aligned} ds^2 &=\langle dr,dr\rangle\\ &=E,du^2+2F,du,dv+G,dv^2, \end{aligned}

其中

E=\langle r_u,r_u\rangle, \quad F=\langle r_u,r_v\rangle, \quad G=\langle r_v,r_v\rangle.

矩阵形式：

g=(g_{ij})= \begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix} =J_r^TJ_r.

正则性保证 $g$ 正定： $E>0$ 且 $EG-F^2>0$ 。

曲线 $\gamma(t)=r(u(t),v(t))$ 的速度平方：

\|\dot\gamma\|^2 =g_{ij}\dot u^i\dot u^j.

长度为

L(\gamma)=\int_a^b\sqrt{g_{ij}\dot u^i\dot u^j},dt.

两个切向量 $X=X^i\partial_i,Y=Y^j\partial_j$ 的夹角：

\cos\theta =\frac{g_{ij}X^iY^j} {\sqrt{g_{ij}X^iX^j}\sqrt{g_{ij}Y^iY^j}}.

面积元：

dA=\sqrt{\det g},du,dv =\sqrt{EG-F^2},du,dv.

换坐标时

\bar g=J_\sigma^TgJ_\sigma.

同时 $d\bar u$ 的分量按逆方式变化，最终 $ds^2$ 不变。刚体变换 $r\mapsto Rr+t$ 也不改变 $J_r^TJ_r$ 。因此长度、角度、面积只由曲面内在度量决定。

r(u,v)=(u,v,0), \qquad g=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}.

r(u,v)=(R\cos u,R\sin u,v),

g=\begin{bmatrix}R^2&0\\0&1\end{bmatrix}.

令 $x=Ru,y=v$ ，则 $ds^2=dx^2+dy^2$ 。所以圆柱沿母线切开后与平面等距。

r(\theta,\phi) =(R\sin\theta\cos\phi, R\sin\theta\sin\phi, R\cos\theta),

g=R^2 \begin{bmatrix} 1&0\\0&\sin^2\theta \end{bmatrix}.

面积元

dA=R^2\sin\theta,d\theta,d\phi.

在极点 $\sin\theta=0$ 是坐标奇异。需要另一张图覆盖。