本页只解决一个问题

教学代码迁移到真实网格时，哪些数值和数据问题必须处理？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

开始前

• 模块前置入口：先修页面
• 本页所属模块：Python 网格参数化实验
• 集中复习版：原长篇参考讲义

16. 数值问题与改进

16.1 病态矩阵

瘦长三角形使基函数梯度很大，矩阵条件数上升。检查：

• 最小角；
• 最短边/最长边比；
• 迭代求解残差；
• 锚点距离。

16.2 负余切权重

可做 intrinsic Delaunay edge flip，使

$$\alpha_{ij}+\beta_{ij}\le\pi$$

从而$w_{ij}\ge0$。注意 extrinsic 三维 Delaunay 与 intrinsic Delaunay 不是同一个概念。

16.3 LSCM 翻转

可先用 Tutte 得到无翻转初值，再最小化 symmetric Dirichlet 能量，并在线搜索中保持$\det J_t>0$。这将二次一次求解升级为非线性优化，但能显式保护局部双射。

16.4 大网格

• 使用稀疏 Cholesky 或预条件 CG；
• 对多个右端项复用分解；
• 不要形成稠密$A^TA$；
• 以面积加权统计误差；
• 用相对残差而非只看绝对残差。

17. 从教学代码走向真实模型

真实 OBJ/PLY 流程至少需要：

1. 合并重复顶点并移除零面积面；
2. 统一面朝向；
3. 检查非流形边/顶点；
4. 提取连通分量和边界环；
5. 对闭合或高亏格模型计算切图；
6. 对多个 charts 做 packing；
7. 在接缝两侧复制顶点并维护原始顶点对应；
8. 输出纹理坐标索引，而不假设位置索引与 UV 索引相同。

18. 进一步实验

1. 把圆边界换成正方形，比较边界角附近的$K$。
2. 将边界按顶点等间距与按弧长分配对比。
3. 扰动一个内部顶点制造钝角，观察负余切权重与翻转。
4. 改变 LSCM 锚点距离，记录条件数和残差。
5. 用 analytic disk/hemisphere 构造已知共形映射，做收敛实验：网格加密时误差是否下降。
6. 实现 symmetric Dirichlet + barrier，对比 LSCM。
7. 在输出 UV 上计算离散 Beltrami 系数方向并画椭圆 glyph。

读完必须能回答

1. 不看公式，用自己的话回答开头的核心问题。
2. 指出本页最重要公式中每个符号的类型：标量、向量、矩阵、映射还是集合。
3. 找出定理成立所需的假设，并举一个删除某条假设后可能失败的例子。
4. 对最小例子手算一遍；若本页含代码，再比较手算与程序输出。

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