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连续质量到离散点的输运怎样转化为加权 Voronoi 单元体积匹配？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

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9. 半离散最优输运与凸几何

源$\mu$ 连续、目标

$$\nu=\sum_{i=1}^na_i\delta_{y_i}$$

离散时，可优化高度$h_i$，定义 power/Laguerre cells：

$$W_i(h)=\{x: \langle x,y_i\rangle+h_i \ge \langle x,y_j\rangle+h_j, \forall j\}.$$

希望每个 cell 质量满足

$$\mu(W_i(h))=a_i.$$

存在凸能量，其梯度为

$$\frac{\partial E}{\partial h_i} =\mu(W_i(h))-a_i.$$

Hessian 由相邻 cells 的公共边/面构成，适合 Newton 法。这正是“凸几何视角”的计算核心。

读完必须能回答

1. 不看公式，用自己的话回答开头的核心问题。
2. 指出本页最重要公式中每个符号的类型：标量、向量、矩阵、映射还是集合。
3. 找出定理成立所需的假设，并举一个删除某条假设后可能失败的例子。
4. 对最小例子手算一遍；若本页含代码，再比较手算与程序输出。

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