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二维中能量、面积、共形映射和曲率方程为何相遇？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

开始前

设 $(M,g)$ 、 $(N,h)$ 为黎曼流形，映射 $f:M\to N$ 的能量密度

e(f)=\frac12\operatorname{trace}_g(f^*h),

总能量

E(f)=\frac12\int_M|df|^2dA_g.

在局部坐标中

E(f)=\frac12\int_M g^{ij}(x)h_{\alpha\beta}(f(x)) \frac{\partial f^\alpha}{\partial x^i} \frac{\partial f^\beta}{\partial x^j} \sqrt{|g|},dx.

一阶变分得到张力场

\tau(f)^\alpha =\Delta_gf^\alpha +g^{ij}\Gamma^\alpha_{\beta\gamma}(f) \partial_if^\beta\partial_jf^\gamma.

调和映射满足

\boxed{\tau(f)=0.}

当目标是欧氏空间时 Christoffel 项消失，各坐标分量都是调和函数。

对曲面间映射 $f:M\to N$ ，在局部正交坐标中设 Jacobian 奇异值为 $\sigma_1,\sigma_2$ 。能量密度和面积 Jacobian 分别为

e(f)=\frac12(\sigma_1^2+\sigma_2^2),

J(f)=\sigma_1\sigma_2.

由

\frac12(\sigma_1^2+\sigma_2^2)-\sigma_1\sigma_2 =\frac12(\sigma_1-\sigma_2)^2\ge0,

得到

E(f)\ge \operatorname{Area}(f(M))

（计重数与定向）。等号当且仅当 $\sigma_1=\sigma_2$ ，即 $f$ 共形。

所以在固定同伦类中，如果调和能量极小值同时达到面积下界，该映射就是共形映射。这是调和映射算法求共形参数化的理论原因。

二维曲面局部存在坐标使

g=e^{2u}(dx^2+dy^2).

这种坐标称为等温坐标。此时

dA_g=e^{2u}dxdy,

\Delta_gf=e^{-2u}\Delta_0f,

K_g=-e^{-2u}\Delta_0u.

若在原度量 $g$ 上做共形变化

\tilde g=e^{2u}g,

曲率变换公式为

\boxed{ K_{\tilde g}=e^{-2u}(K_g-\Delta_gu). }

给定目标曲率 $\bar K$ ，需要求解二维 Yamabe 方程

-\Delta_gu+K_g=\bar K e^{2u}.

离散 Ricci flow 正是在三角网格上求解这一类曲率处方问题。