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曲面在外部空间怎样弯曲，主曲率、高斯曲率和平均曲率如何联系？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

开始前

第一基本形式描述内在测量；第二基本形式描述曲面在 $\mathbb R^3$ 中如何弯曲。

II=L,du^2+2M,du,dv+N,dv^2,

其中

L=\langle r_{uu},n\rangle, \quad M=\langle r_{uv},n\rangle, \quad N=\langle r_{vv},n\rangle.

由 $\langle r_u,n\rangle=0$ 求导也得到

L=-\langle r_u,n_u\rangle, \quad M=-\langle r_u,n_v\rangle, \quad N=-\langle r_v,n_v\rangle.

Gauss 映射把每个点送到其单位法向量：

G:M\to S^2, \qquad G(p)=n(p).

形算子（Weingarten map）定义为

S=-dG:T_pM\to T_pM.

它关于度量自伴：

\langle S(X),Y\rangle =\langle X,S(Y)\rangle.

因此有实特征值和正交特征向量：

S(e_1)=k_1e_1, \qquad S(e_2)=k_2e_2.

$k_1,k_2$ 是主曲率， $e_1,e_2$ 是主方向。

单位方向

v=\cos\theta,e_1+\sin\theta,e_2

上的法曲率为

k_n(v)=\langle S(v),v\rangle =k_1\cos^2\theta+k_2\sin^2\theta.

所以主曲率是法曲率的极值。

K=k_1k_2=\det S =\frac{LN-M^2}{EG-F^2},

H=\frac{k_1+k_2}{2} =\frac{EN-2FM+GL}{2(EG-F^2)}.

曲率	内涵
$K$	内在曲率；Gauss map 的局部有向面积比
$H$	外在弯曲；面积一阶变分的系数

局部二阶近似在主方向坐标中为

z\approx\frac12(k_1x^2+k_2y^2).

$K>0$ 为椭圆点， $K<0$ 为双曲点， $K=0$ 为抛物/平坦情形。