这条谱系为何不是“共形参数化论文列表”

计算共形几何对网格生成的作用至少分四层：

度量层：在共形类内改变尺度，使处方曲率可实现；
坐标层：构造调和/共形坐标和自然参数；
拓扑层：用同调、周期、holonomy 与除子表达全局障碍；
结构层：让微分的水平/垂直轨线形成有限 quad layout，或进一步诱导体块。

前两层解决“怎样平坦化”；后两层才直接触及“怎样得到结构化网格”。只会算局部角度畸变，仍不足以判断网格线是否闭合。

2002–2015：离散共形计算的底座

级别	工作	奠定的工具	与网格生成的关系
A	Gu–Yau, Computing Conformal Structures of Surfaces, 2002	离散调和 1-形式、同调/上同调与周期	为高亏格全局坐标、Abel 映射和切图提供计算底座
A	Chow–Luo, Combinatorial Ricci Flows on Surfaces, 2003	圆填充度量上的离散 Ricci 流与收敛理论	处方离散曲率并构造平坦锥度量
A	Gu–Yau, Global Conformal Surface Parameterization, 2003	将调和形式和拓扑基用于全局参数化	解释高亏格曲面为什么不能靠一个平面坐标片覆盖
B	Gu 等, Optimal Global Conformal Surface Parameterization, 2004	优化全局共形参数和周期条件	参数化质量与拓扑规范化相互耦合
A	Springborn–Schröder–Pinkall, Conformal Equivalence of Triangle Meshes, 2008	用离散共形等价与凸能量求目标角度/曲率	展示离散共形可转成结构良好的优化问题
B	Jin 等, Discrete Surface Ricci Flow, 2008	将离散 Ricci 流用于曲面参数化和工程计算	数值三角化、翻边与收敛策略
A	Fundamentals of Computational Conformal Geometry, 2011	综述调和映射、Ricci 流、圆域与应用	适合作为理论和实现之间的总入口
A	Bobenko–Pinkall–Springborn, Discrete Conformal Maps and Ideal Hyperbolic Polyhedra, 2015	用离散共形因子和翻边建立更内蕴的等价关系	为离散 uniformization 与数值稳定性提供现代框架

2016–2021：叶状结构与 QMG I–III

大连理工雷娜、罗钟铉团队与顾险峰等合作者形成了一条连续理论线。它不是若干不相干算法，而是在逐层回答“什么结构化 quad 是全局可实现的”。

flowchart TD
    A[quad mesh] --> B[有限测度叶状结构]
    B --> C[Strebel/亚纯微分]
    C --> D[平坦锥度量与 C4 holonomy]
    D --> E[除子与 Abel-Jacobi 条件]
    E --> F[奇异点优化]
    F --> G[自然坐标/Deck transformation]
    G --> H[有限轨线 quad mesh]

级别	论文	理论推进	阅读前置
A	Surface Foliation Theory for Quadrilateral Mesh Generation I, 2017	建立可着色 quad、有限测度叶状结构与 Strebel 微分之间的对应	黎曼面、二次微分、叶状结构
A	Surface Foliation Theory II, 2017	用到度量图的调和映射/热流计算目标叶状结构	调和映射、图值映射与非线性热流
A	QMG I: Ricci Flow and Flat Cone Metrics, 2019	明确平坦锥度量、 $C_4$ holonomy、边界对齐和有限测地线等条件	离散曲率、holonomy 与测地线
A	QMG II: Meromorphic Quartic Differentials, 2020	将 quad 网格提升为亚纯四次微分轨线结构，并引入除子约束	除子、Riemann–Roch、Abel–Jacobi
A	QMG III: Singularity Configuration Optimization, 2021	优化奇异点配置满足全局代数几何条件，再构造自然坐标	Jacobian variety、周期矩阵、deck transformation

这里最重要的认识是：

\sum_i \operatorname{ind}(p_i)=\chi(S)

只是总指数必要条件。候选奇异点作为除子，还要落在正确的线性等价类；Abel–Jacobi 映射检测的是比 Euler 总量更细的全局约束。

2023：为什么 cross field 还不够

Why Cross Fields Are Not Equivalent to Quadrilateral Meshes 从纤维丛与示性类角度比较交叉场和结构化 quad 的约束。应精确理解其结论：

\text{结构化 quad 给出交叉场}, \qquad \text{一般交叉场未必可积成结构化 quad}.

这并不否定 MIQ、方向场或局部追踪，而是解释它们为何需要额外的 holonomy、周期、局部单射与有限轨线条件。可与 Which Cross Fields Can Be Quadrangulated? 对读：两篇采用不同数学表述，但都把注意力从“场是否平滑”推进到“场是否可被全局参数化实现”。

2024–2026：从理论链向 hex、特殊函数与学习拓展

级别	工作	方向	需要继续验证
A	有限元网格生成综述, 2024	从传统非结构方法到结构化、共形与智能方法的中文总览	按参考文献回到原论文，不把综述当最终证据
A	Hex Singularity Structure Simplification via ILP, 2024	把 sheet 操作和 hex 奇异价数写成整数约束	处理已有 hex，而非从零生成
B	Feature-Aware Singularity Structure Optimization, 2025	用 collapse/inflate 优化并对齐奇异结构	贪心顺序、薄区域与全局质量
A	Quadrilateral Meshing Based on Foliation and Meromorphic Quadratic Differentials, 2026	用极点、双覆盖与度量图改进有边界曲面上的叶状生成	面积畸变、角点和轨线有限性
B	Hex Meshing Based on Meromorphic Quadratic Differentials, 2026	将闭轨线、骨架与二次微分推广到体块构造	骨架自动化与体映射有效性
B	Surface Quad Meshing Based on Weierstrass Functions, 2026	在特殊拓扑上显式构造双周期亚纯函数，降低全局求解成本	适用拓扑范围与复杂边界鲁棒性
B	CubeFlipNet, 2026	学习 hex 拓扑操作策略，并引入 polycube 先验	合法 action mask、跨模型泛化与确定性基线

大连理工两条线不要混写

研究链	公开代表	主要变量	评价标准
计算共形/结构化网格	雷娜、罗钟铉等及顾险峰等合作者	度量、微分、周期、除子、奇异结构	存在性、全局相容、结构质量与算法适用域
通用网格引擎/计算力学	关振群团队等	Delaunay、AFT、度量、边界恢复、并行数据结构	CAD 成功率、质量、规模、速度与求解耦合

官方入口：

一条真正适合零基础的阅读顺序

先学曲面拓扑、复分析、微分形式和 Hodge 分解；
读 Gu–Yau 2002，亲手算环面上的两个调和 1-形式与周期；
读 Chow–Luo 与 Springborn，理解“改变边长/半径以处方曲率”；
学二次微分的自然坐标和水平/垂直叶状结构；
读 Surface Foliation I–II，画出 metric graph 与圆柱分解；
按 QMG I → II → III 逐步补 holonomy、除子和 Abel–Jacobi；
对读 2022/2023 两篇 cross-field 可实现性论文；
最后进入 hex、Weierstrass 和学习拓扑操作的新工作。

适合形成研究课题的缺口

把 PDE Hessian 度量投影到满足 Abel–Jacobi 的微分空间；
对带边界、多材料和非光滑 CAD 推导离散除子/周期条件；
为叶状结构生成的 quad/hex 建立正 Jacobian 证书；
将奇异点优化目标从几何畸变扩展到最终 PDE 误差；
建立公开的失败模型集，区分拓扑不可行、数值不稳定和软件容差失败；
比较显式特殊函数、通用 PDE 求解与学习代理在速度和可靠性上的真实边界。

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