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数学学习地图

这页是数学类笔记的入口。当前优先建设的是计算共形几何：它把线性代数、多元微积分、微分几何、拓扑和数值计算连接起来，也直接服务于网格生成、曲面参数化和几何深度学习。专题的完整边界现已扩展为 28 个模块、314 个课题单元；其中 84 篇零基础短课已有正文，另外 230 个课题已有详细课程提纲，将逐篇继续展开。

代数拓扑 ── 基本群、覆盖空间、同调/上同调
    │
微分拓扑 ── 切空间、微分形式、Hodge 分解
    │
黎曼几何 ── 度量、联络、曲率、测地线、调和映射
    │
复分析   ── 全纯函数、Beltrami 方程、黎曼面、一致化
    │
离散理论 ── 余切 Laplace、LSCM、Abel 微分、Ricci 流
    │
应用     ── 参数化、网格生成、最优输运、几何深度学习

专题入口

专题	适合解决的问题	入口
计算共形几何总入口	在课程地图、主干、扩展和参考讲义之间导航	课程导航
计算共形几何零基础主干	按依赖顺序学懂保角映射、UV 与离散算法	84 篇短课
计算共形几何全景地图	查看理论全貌、研究分支与 314 个课题单元	28 模块总纲
David Gu 课程对照	核对 2022 全 35 讲及 2020 扩展主题	课程覆盖矩阵
计算机图形学	几何、渲染、仿真全景	Computer Graphics
几何处理	SDF、网格、曲率、Laplace、参数化	Geometry

计算共形几何的学习顺序

学习入口已经改成 84 个单概念短课。下表是必须先走通的主干，不代表学科只有这些内容；完整扩展路线见全景知识地图。下表中的每个链接都是模块目录，不再要求从一篇数百行的长文开始。

顺序	短课模块	检查点
0	零基础数学语言	能逐字读懂向量、矩阵、Jacobian、积分和能量公式
1	曲面拓扑	能解释边界、基本群、覆盖、同调和 Euler 数
2	微分形式与 Hodge 理论	能区分 $d,\delta,\star,\Delta$ 并写出离散对应
3	曲面微分几何	能从度量推导曲率、测地线和调和方程
4	共形结构与复分析	能解释 $f^*g=\lambda^2g$ 、 $f_{\bar z}=0$ 与 $\mu$
5	离散曲面与共形算法	能从有限元推导余切矩阵与 LSCM
6	Python 参数化实验	能检测翻转并分别统计角度与面积畸变
7	黎曼面与 Abel 微分	能理解同调周期与高亏格参数域
8	离散 Ricci 流与双曲结构	能把一致化写成离散曲率处方问题
9	最优输运与几何深度学习	能区分角度标准化与质量匹配

学习要求

不要把“前置知识”理解为必须先修完数学系本科。采用边学边用的方式即可：

每个定义都要能给出一个反例，知道去掉哪个假设后结论会失败；
每个连续算子都要写出离散矩阵，以及矩阵的维数、零空间和对称性；
每个参数化结果都要检查翻转、共形畸变、面积畸变和线性残差；
核心定理至少掌握证明框架：Gauss–Bonnet、Hodge、Riemann mapping、uniformization、Riemann–Roch；
代码实验必须先验证拓扑和网格质量，不能只观察最终图片。

阅读顺序不是考试大纲，而是一条可运行的路线：每学一个公式，都在下一篇文章或代码中找到它的几何用途。

课程参照

专题结构参照 David Gu 的 Computational Conformal Geometry 公开课，将理论与算法并行组织：

David Gu 2022 课程主页
Computational Conformal Geometry Lecture Notes
Gu and Yau, Computational Conformal Geometry
Luo, Gu and Dai, Variational Principles for Discrete Surfaces