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连续积分怎样组装成稀疏矩阵，边界条件怎样进入线性系统？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

开始前

E_D(u)=\frac12u^TLu =\frac12\sum_{(i,j)\in E}w_{ij}(u_i-u_j)^2.

由于它来自积分 $\int\|\nabla u_h\|^2$ ，即使某些余切权重为负，总矩阵仍为半正定（对无退化网格）。但负权重会破坏离散最大值原理。

每行和为 0：

L\mathbf1=0.

对有 $c$ 个连通分支的网格， $\dim\ker L=c$ 。求解 Poisson 方程 $Lu=b$ 时必须满足每个分支上

\mathbf1^Tb=0

或施加 Dirichlet/锚点约束。

stiffness matrix $L$ 表示弱形式。要近似点值 $\Delta u$ ，还需质量矩阵

M_{ij}=\int_M\phi_i\phi_jdA.

单个三角形的 consistent mass matrix：

M_t=\frac{A_t}{12} \begin{bmatrix} 2&1&1\\1&2&1\\1&1&2 \end{bmatrix}.

lumped mass 把每个三角形 $A_t/3$ 分给三个顶点，使 $M$ 对角。

强形式近似为

\Delta_hu\approx -M^{-1}Lu

（符号取决于约定）。谱问题是广义特征问题

L\phi=\lambda M\phi.

将顶点分成内部 $I$ 和边界 $B$ ：

\begin{bmatrix} L_{II}&L_{IB}\\ L_{BI}&L_{BB} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}u_I\\u_B\end{bmatrix}=0.

给定边界 $u_B$ ，内部满足

\boxed{L_{II}u_I=-L_{IB}u_B.}

若权重非负，内部值是邻居的凸组合：

u_i=\frac{\sum_jw_{ij}u_j}{\sum_jw_{ij}}.

因此离散最大值原理成立。